On considère A = ( 6 4 1 1 ) dans M 2 ( R ) . Montrer que A 2 − 7 A + 2 I = O 2 . En déduire que A est inversible dans ( M 2 ( R ) ; × ) et déterminer A − 1 . Soit B = ( 0 0 1 0 ) . Calculer B 2 puis en déduire que B n'a pas d'inverse dans ( M 2 ( R ) ; × ) .

Inverse de $A = \begin{pmatrix} 6 & 1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}$ et non-inversibilité de $B$

Intermédiaire

Énoncé

On considère $A = (6411)$ dans $M_{2} (R)$ .

Montrer que $A^{2} - 7 A + 2 I = O_{2}$ .
En déduire que $A$ est inversible dans $(M_{2} (R); \times)$ et déterminer $A^{- 1}$ .
Soit $B = (0010)$ . Calculer $B^{2}$ puis en déduire que $B$ n'a pas d'inverse dans $(M_{2} (R); \times)$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour montrer que $A$ est inversible, isole $2I$ dans l'égalité $A^2 - 7A + 2I = O_2$, puis factorise pour faire apparaître un produit égal à $2I$.

2 Indice 2

Écris $A^2 - 7A + 2I = O_2$ sous la forme $A \times (\text{quelque chose}) = 2I$. Divise ensuite par $2$ pour obtenir $A \times (\text{quelque chose}) = I$, ce qui te donnera $A^{-1}$.

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Pour montrer que $A$ est inversible, isole $2 I$ dans l'égalité $A^{2} - 7 A + 2 I = O_{2}$ , puis factorise pour faire apparaître un produit égal à $2 I$ .

Écris $A^{2} - 7 A + 2 I = O_{2}$ sous la forme $A \times (quelque chose) = 2 I$ . Divise ensuite par $2$ pour obtenir $A \times (quelque chose) = I$ , ce qui te donnera $A^{- 1}$ .

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