Loi $xTy = x^{\ln y}$ sur $]0;+\infty[ \setminus \{1\}$

Difficile
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Énoncé

On munit de la loi définie par :

  1. Montrer que est une loi de composition interne sur .
  2. Montrer que est commutative, associative et admet un élément neutre .
  3. Montrer que tout de admet un symétrique pour .
  4. Soit définie par . Montrer que est un isomorphisme de vers , puis en déduire la structure de .

Indices

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1 Indice 1
Remarque l'identite cle $x^{\ln y}=e^{\ln(x)\ln(y)}$ : elle simplifie toutes les questions.
2 Indice 2
Pour la loi interne, verifie que $xTy>0$ et que $xTy\neq 1$ en utilisant que $\ln x\neq 0$ et $\ln y\neq 0$. Pour l'element neutre, resous $\ln(\varepsilon)\ln(x)=\ln(x)$.
3 Indice 3
Pour le symetrique, resous $\ln(x)\ln(x')=1$. Pour l'isomorphisme avec $f(x)=e^x$, verifie $f(xy)=f(x)Tf(y)$ et la bijectivite.

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La méthode — par où commencer

Remarque l'identite cle : elle simplifie toutes les questions.

Pour la loi interne, verifie que et que en utilisant que et . Pour l'element neutre, resous .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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Loi $x*y = \sqrt{x^2+y^2}$ et isomorphisme Tous les exercices du chapitre Inverse de $A = \begin{pmatrix} 6 & 1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}$ et non-inversibilité de $B$