Isomorphisme et sous-groupe sur l'intervalle ]0,1[

On munit $E=]0,1[$ de la loi $\ast$ définie par :

$\forall x,y\in ]0,1[:x\ast y=\frac{xy}{xy+(1-x)(1-y)}$

Soit $f$ l'application définie de $]0,+\infty [$ vers $E$ par $f(x)=\frac{1}{x+1}$.

1. Montrer que $\ast$ est une loi de composition interne dans $]0,1[$.
2. Montrer que $f$ est un isomorphisme de $(]0,+\infty [,\times )$ vers $(E,\ast )$.
3. En déduire que $(E,\ast )$ est un groupe commutatif, puis déterminer l'élément neutre et le symétrique de $x$.
4. Soit $H=\left\{x_n=\frac{1}{1+3^n}/n\in \mathbb{Z}\right\}$. Montrer que $H$ est un sous-groupe de $(E,\ast )$.