Loi $z_1*z_2=ax+i(bx+ay)$ sur $\mathbb{C}$, groupe et sous-groupe

Pour $z_1=a+ib$ et $z_2=x+iy$ de $\mathbb{C}$, on définit $z_1\ast z_2=ax+i(bx+ay)$.

1. Montrer que $\ast$ est commutative, associative et admet un élément neutre $e$.
2. Soit $G=\{z\in \mathbb{C}\mid \mathrm{Re}(z)\ne 0\}$. Montrer que $G$ est stable pour $\ast$, puis que $(G,\ast )$ est un groupe commutatif.
3. Soit $H=\{z=x+ix\ln |x|\mid x\in {\mathbb{R}}^{\ast }\}$. Montrer que $H$ est un sous-groupe de $(G,\ast )$.
4. Pour $z=x+iy$, déterminer $z^{(n)}=\underset{n\text{ fois}}{\underbrace{z\ast z\ast \cdots \ast z}}$.