Loi sur les complexes et sous-groupe

Pour tous $z_1=a+ib$ et $z_2=x+iy$ de $\mathbb{C}$ (avec $(a,b,x,y)\in {\mathbb{R}}^4$), on définit la loi $\ast$ par :

$z_1\ast z_2=ax+i(bx+ay)$

1. Montrer que $\ast$ est commutative, associative et admet un élément neutre $e$.
2. On considère $G=\{z\in \mathbb{C}/\mathrm{Re}(z)\ne 0\}$.
   1. Montrer que $G$ est une partie stable de $(\mathbb{C},\ast )$.
   2. Montrer que $(G,\ast )$ est un groupe commutatif.
3. On pose $H=\{z=x+ix\ln |x|/x\in {\mathbb{R}}^{\ast }\}$. Montrer que $H$ est un sous-groupe de $(G,\ast )$.