Matrice inverse et structure de groupe sur un intervalle

Partie 1. Dans l'anneau $(M_3(\mathbb{R}),+,\times )$ on considère :

$A=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{5}-1}{2}& 0& 0\\ 0& -2& -1\\ 0& 1& 1\end{array}\right),I=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

1. Calculer $I-A$ et $A^2$.
2. En déduire que $A$ admet une matrice inverse.

Partie 2. Pour $a,b\in I=]1,+\infty [$, on pose $a\ast b=\sqrt{a^2{b}^2-a^2-b^2+2}$.

3. Vérifier que $\forall (x,y)\in {\mathbb{R}}^2:x^2{y}^2-x^2-y^2+2=(x^2-1)(y^2-1)+1$.
4. Montrer que $\ast$ est une loi de composition interne dans $I$.
5. Soit $\phi :{\mathbb{R}}_{+}^{\ast }\to I$ définie par $\phi (x)=\sqrt{x+1}$. Montrer que $\phi$ est un isomorphisme de $({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\times )$ dans $(I,\ast )$, puis en déduire la structure de $(I,\ast )$.