Groupe matriciel et puissances d'une matrice

Difficile
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Énoncé

On considère les matrices de :

  1. Montrer que ; en déduire que n'est pas inversible.
  2. Montrer que pour tout : .
  3. On pose pour et . Montrer que est un groupe commutatif.

Indices

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1 Indice 1
Pour $A^2=A$, effectue le produit matriciel terme à terme, puis raisonne par l'absurde : si $A$ était inversible, que donnerait $A^2=A$ multiplié par $A^{-1}$ ?
2 Indice 2
Pour $B^n$, procède par récurrence en écrivant $B = 3I - 4A$ et en utilisant systématiquement $A^2=A$ pour simplifier les produits.
3 Indice 3
Pour montrer que $(G,\\times)$ est un groupe, calcule $C(n)\\times C(m)$ en développant et en regroupant les termes en $I$ et en $A$ grâce à $A^2=A$ ; identifie ensuite le neutre et l'inverse de chaque élément.

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La méthode — par où commencer

Pour , effectue le produit matriciel terme à terme, puis raisonne par l'absurde : si était inversible, que donnerait multiplié par ?

Pour , procède par récurrence en écrivant et en utilisant systématiquement pour simplifier les produits.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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