Groupe multiplicatif de matrices et commutant

I) Soit la matrice $A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$.

1. Calculer $A^2$, $A^3$ et $A^6$, puis en déduire $A^{-1}$ sous la forme $A^n$ avec $n\in \mathbb{N}$.

2. On pose $G=\{A^n:n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\}$. Montrer que $(G,\times )$ est un groupe commutatif.

3. Montrer que $G=\{I,A,A^2,A^3,A^4,A^5\}$.

II) On pose $E=\{M\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R}):A\times M=M\times A\}$.

1. Montrer que $(E,+,\cdot )$ est un espace vectoriel.

2. Montrer que pour tout $M\in E$, il existe un unique couple $(a,b)\in {\mathbb{R}}^2$ tel que $M=aI+bA$. En déduire une base de $(E,+,\cdot )$.