On note ( D 2 ( R ) , + , ⋅ ) l'espace vectoriel des fonctions deux fois dérivables sur R et soit a ∈ R . On pose : E = { f ∈ D 2 ( R ) : f ′′ + 2 a f ′ + a 2 f = 0 } . Montrer que ( E , + , ⋅ ) est un espace vectoriel. On pose f 1 ( x ) = e − a x et f 2 ( x ) = x e − a x . Montrer que ( f 1 , f 2 ) ∈ E 2 et que ( f 1 , f 2 ) est une famille libre. Soit f ∈ E et g ( x ) = e a x f ( x ) . Montrer que g ′′ = 0 , et en déduire une base de E . On pose g 1 = f 1 + 2 f 2 et g 2 = 2 f 1 + 2 f 2 . La famille ( g 1 , g 2 ) est-elle une base de ( E , + , ⋅ ) ?

Équation différentielle à racine double et base de solutions

Difficile

Énoncé

On note $(D_{2} (R), +, \cdot)$ l'espace vectoriel des fonctions deux fois dérivables sur $R$ et soit $a \in R$ . On pose :

$E = {f \in D_{2} (R) : f^{''} + 2 a f^{'} + a^{2} f = 0} .$

Montrer que $(E, +, \cdot)$ est un espace vectoriel.
On pose $f_{1} (x) = e^{- a x}$ et $f_{2} (x) = x e^{- a x}$ . Montrer que $(f_{1}, f_{2}) \in E^{2}$ et que $(f_{1}, f_{2})$ est une famille libre.
Soit $f \in E$ et $g (x) = e^{a x} f (x)$ . Montrer que $g^{''} = 0$ , et en déduire une base de $E$ .
On pose $g_{1} = f_{1} + 2 f_{2}$ et $g_{2} = 2 f_{1} + 2 f_{2}$ . La famille $(g_{1}, g_{2})$ est-elle une base de $(E, +, \cdot)$ ?

Indices

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1 Indice 1

Pour montrer que E est un espace vectoriel, vérifie que la fonction nulle appartient à E et que E est stable par combinaison linéaire.

2 Indice 2

Pour la liberté de $(f_1,f_2)$, suppose $\\alpha_1 f_1 + \\alpha_2 f_2 = 0$ pour tout $x$, divise par $e^{-ax}$ et identifie un polynôme nul.

3 Indice 3

Pour la question 3, dérive $g(x) = e^{ax}f(x)$ deux fois et utilise l'équation différentielle vérifiée par f pour montrer $g''=0$.

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La méthode — par où commencer

Pour montrer que E est un espace vectoriel, vérifie que la fonction nulle appartient à E et que E est stable par combinaison linéaire.

Pour la liberté de $(f_{1}, f_{2})$ , suppose $a l p h a_{1} f_{1} + a l p h a_{2} f_{2} = 0$ pour tout $x$ , divise par $e^{- a x}$ et identifie un polynôme nul.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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