Sous-espace de solutions sur ]0,+∞[ et base

On note $\left(D_2,+,\cdot \right)$ l'espace vectoriel des fonctions deux fois dérivables sur $\left]0,+\infty \right[$. On pose :

$E=\left\{f\in D_2:\forall x>0,x{f}^{\prime \prime }(x)-(x+1)f^{\prime }(x)+f(x)=0\right\}.$

1. Montrer que $(E,+,\cdot )$ est un espace vectoriel réel.

2. On pose $v(x)=x+1$ et $u(x)=e^x$ pour $x\in \left]0,+\infty \right[$. Montrer que $(u,v)\in E^2$ et que $(u,v)$ est une famille libre.

3. Soit $f\in E$. Montrer que $f^{\prime \prime \prime }(x)=f^{\prime \prime }(x)$ pour tout $x>0$, et en déduire qu'il existe $(a,b,c)\in {\mathbb{R}}^3$ tel que $f(x)=a{e}^x+bx+c$.

4. En déduire que $(u,v)$ est une base de $(E,+,\cdot )$.