Espace vectoriel de matrices triangulaires et changement de base

On pose :

$E=\left\{M(a,b,c)=\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ 0& a& b\\ 0& 0& a\end{array}\right):(a,b,c)\in {\mathbb{R}}^3\right\},$

et $I=M(1,0,0)$, $J=M(0,1,0)$, $K=M(0,0,1)$.

1. Montrer que $(E,+,\cdot )$ est un espace vectoriel réel de base $\mathcal{B}=(I,J,K)$.

2. Soient $A=-I+2J$, $B=I+4K$ et $C=2I-J+3K$. Montrer que ${\mathcal{B}}^{\prime }=(A,B,C)$ est une base de $E$, puis déterminer les coordonnées de $M(2,1,7)$ dans ${\mathcal{B}}^{\prime }$.

3. On pose $F=\{M(a,b,c):a+b=c\}$. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $(E,+,\cdot )$.