Corps de matrices isomorphe à ℂ et équation JX³=−I

On considère l'ensemble :

$F=\left\{M(a,b)=\left(\begin{array}{cc}a+b& -2b\\ b& a-b\end{array}\right):(a,b)\in {\mathbb{R}}^2\right\}.$

1. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $\left({\mathcal{M}}_2(\mathbb{R}),+,\cdot \right)$, en déterminer une base et $\dim (F)$.

2. On pose $J=M(0,1)$. Vérifier que $J^2=-I$ et donner les coordonnées de $J^2$ dans la base trouvée.

3. Montrer que $F$ est stable pour la multiplication, et que $M(a,b)\times M(c,d)=M(ac-bd,ad+bc)$.

4. Soit $f:{\mathbb{C}}^{\ast }\to F^{\ast }$ définie par $f(a+ib)=M(a,b)$. Montrer que $f$ est un isomorphisme de $({\mathbb{C}}^{\ast },\times )$ vers $(F^{\ast },\times )$, et en déduire que $(F,+,\times )$ est un corps commutatif.

5. Résoudre dans $F^{\ast }$ l'équation $J{X}^3=-I$.