On note ( D 2 , + , ⋅ ) l'espace vectoriel des fonctions deux fois dérivables sur R , et on pose : H = { y ∈ D 2 : y ′′ − 3 y ′ + 2 y = 0 } . Montrer que H est un sous-espace vectoriel de ( D 2 , + , ⋅ ) . Déterminer une base de H puis en déduire dim ( H ) .

Sous-espace des solutions d'une équation différentielle

Intermédiaire

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On note $(D_{2}, +, \cdot)$ l'espace vectoriel des fonctions deux fois dérivables sur $R$ , et on pose :

$H = {y \in D_{2} : y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = 0} .$

Montrer que $H$ est un sous-espace vectoriel de $(D_{2}, +, \cdot)$ .
Déterminer une base de $H$ puis en déduire $dim (H)$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour montrer que $H$ est un sous-espace vectoriel, vérifie d'abord que la fonction nulle appartient à $H$, puis montre que si $f$ et $g$ sont dans $H$, alors toute combinaison $\alpha f + \beta g$ vérifie aussi l'équation différentielle en utilisant la linéarité de la dérivation.

2 Indice 2

Pour trouver une base de $H$, résous l'équation caractéristique $r^2 - 3r + 2 = 0$ en calculant son discriminant. Les racines $r_1$ et $r_2$ te donneront les fonctions $e^{r_1 x}$ et $e^{r_2 x}$ qui forment les candidats pour ta base.

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Pour montrer que $H$ est un sous-espace vectoriel, vérifie d'abord que la fonction nulle appartient à $H$ , puis montre que si $f$ et $g$ sont dans $H$ , alors toute combinaison $α f + β g$ vérifie aussi l'équation différentielle en utilisant la linéarité de la dérivation.

Pour trouver une base de $H$ , résous l'équation caractéristique $r^{2} - 3 r + 2 = 0$ en calculant son discriminant. Les racines $r_{1}$ et $r_{2}$ te donneront les fonctions $e^{r_{1} x}$ et $e^{r_{2} x}$ qui forment les candidats pour ta base.

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