Montrer que B = ( 1 + i , 1 − i ) est une famille libre de l'espace vectoriel réel ( C , + , ⋅ ) . Dans l'espace vectoriel ( F ( R , R ) , + , ⋅ ) on pose f 1 ( x ) = e 2 x , f 2 ( x ) = e x et f 3 ( x ) = e 3 x . Montrer que B = ( f 1 , f 2 , f 3 ) est une famille libre.

Deux familles libres : nombres complexes et exponentielles

Intermédiaire

Énoncé

Montrer que $B = (1 + i, 1 - i)$ est une famille libre de l'espace vectoriel réel $(C, +, \cdot)$ .
Dans l'espace vectoriel $(F (R, R), +, \cdot)$ on pose $f_{1} (x) = e^{2 x}$ , $f_{2} (x) = e^{x}$ et $f_{3} (x) = e^{3 x}$ . Montrer que $B = (f_{1}, f_{2}, f_{3})$ est une famille libre.

Indices

— clique pour révéler

1 Indice 1

Pour montrer qu'une famille est libre, écris la combinaison linéaire $\alpha_1(1+i) + \alpha_2(1-i) = 0$ et sépare la partie réelle de la partie imaginaire. Que peux-tu dire sur chacune ?

2 Indice 2

Pour les fonctions exponentielles, pose $\alpha_1 e^{2x} + \alpha_2 e^{x} + \alpha_3 e^{3x} = 0$ pour tout $x$. Essaie de diviser par $e^{3x}$ puis fais tendre $x$ vers $+\infty$ pour éliminer certains termes.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Demander à Prof Hicham

La méthode — par où commencer

Pour montrer qu'une famille est libre, écris la combinaison linéaire $α_{1} (1 + i) + α_{2} (1 - i) = 0$ et sépare la partie réelle de la partie imaginaire. Que peux-tu dire sur chacune ?

Pour les fonctions exponentielles, pose $α_{1} e^{2 x} + α_{2} e^{x} + α_{3} e^{3 x} = 0$ pour tout $x$ . Essaie de diviser par $e^{3 x}$ puis fais tendre $x$ vers $+ \infty$ pour éliminer certains termes.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

Continue sur la même notion

Loi $z_1*z_2=ax+i(bx+ay)$ sur $\mathbb{C}$, groupe et sous-groupe

Exercice Terminé? 🎉

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points

Famille génératrice de M₂(ℝ) Tous les exercices du chapitre Sous-espace des solutions d'une équation différentielle

Deux familles libres : nombres complexes et exponentielles

Énoncé

Indices

La méthode — par où commencer

Correction détaillée

Débloque le corrigé complet

Exercice Terminé? 🎉

Deux familles libres : nombres complexes et exponentielles

Énoncé

Indices

La méthode — par où commencer

Correction détaillée

Débloque le corrigé complet

Exercice Terminé? 🎉

Valider votre réponse

Tu as vu 5 exercices aujourd'hui 🎯