Corps commutatif sur $\mathbb{C}$ et résolution de $x^{(4)}=8+2i$

Sur $\mathbb{C}$ on définit :

$x\ast y=x+y-2i,x\perp y=2ixy+4(x+y)-6i.$

On considère $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C},f(z)=-\frac{i}{2}z+2i$.

1. Montrer que $f$ est bijective et déterminer $f^{-1}$.
2. Montrer que $f$ est un homomorphisme de $(\mathbb{C},+)$ vers $(\mathbb{C},\ast )$, en déduire la structure de $(\mathbb{C},\ast )$ et son neutre $e$.
3. Montrer que $f$ est un homomorphisme de $(\mathbb{C},\times )$ vers $(\mathbb{C},\perp )$, en déduire la structure de $(\mathbb{C}\setminus \{e\},\perp )$.
4. Montrer que $(\mathbb{C},\ast ,\perp )$ est un corps commutatif.
5. Déterminer $x^{(n)}=\underset{n}{\underbrace{x\perp \cdots \perp x}}$, puis résoudre $x^{(4)}=8+2i$.