Dans M 3 ( R ) on considère A = − 1 1 2 − 1 1 2 2 − 2 0 . Calculer A 2 et A 3 . La matrice A est-elle inversible ? Montrer que I − A est inversible et déterminer son inverse. Pour x ∈ R on pose M ( x ) = I + 2 x A + 2 x 2 A 2 et E = { M ( x ) ∣ x ∈ R } . Montrer que ∀ ( x , y ) ∈ R 2 : M ( x ) × M ( y ) = M ( x + y ) . Montrer que ( E , × ) est un groupe commutatif.

Matrice nilpotente et groupe $(E,\times)$ avec $M(x)=I+2xA+2x^2A^2$

Difficile

Énoncé

Dans $M_{3} (R)$ on considère $A = - 1 12 - 1 12 2 - 2 0 .$

Calculer $A^{2}$ et $A^{3}$ . La matrice $A$ est-elle inversible ?
Montrer que $I - A$ est inversible et déterminer son inverse.
Pour $x \in R$ on pose $M (x) = I + 2 x A + 2 x^{2} A^{2}$ et $E = {M (x) ∣ x \in R}$ .
- Montrer que $\forall (x, y) \in R^{2} : M (x) \times M (y) = M (x + y) .$
- Montrer que $(E, \times)$ est un groupe commutatif.

Indices

— clique pour révéler

1 Indice 1

Calcule $A^2$ en multipliant $A$ par elle-meme terme a terme, puis $A^3 = A^2 \times A$. Observe ce que devient $A^3$.

2 Indice 2

Pour montrer que $I-A$ est inversible, cherche a factoriser $I = I - A^3$ en utilisant l'identite $1-t^3=(1-t)(1+t+t^2)$ appliquee aux matrices.

3 Indice 3

Pour $M(x)\times M(y)$, developpe le produit terme a terme et utilise le fait que $A^3=O$ (et donc $A^4=O$) pour simplifier. Pense ensuite a l'application $x \mapsto M(x)$ comme un morphisme de $(\mathbb{R},+)$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Demander à Prof Hicham

La méthode — par où commencer

Calcule $A^{2}$ en multipliant $A$ par elle-meme terme a terme, puis $A^{3} = A^{2} \times A$ . Observe ce que devient $A^{3}$ .

Pour montrer que $I - A$ est inversible, cherche a factoriser $I = I - A^{3}$ en utilisant l'identite $1 - t^{3} = (1 - t) (1 + t + t^{2})$ appliquee aux matrices.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

Continue sur la même notion

Exercice Terminé? 🎉

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points

Corps commutatif sur $\mathbb{C}$ et résolution de $x^{(4)}=8+2i$ Tous les exercices du chapitre Anneau intègre de matrices $M(a,b)$ et morphisme $\varphi=|a^2-3b^2|$

Matrice nilpotente et groupe $(E,\times)$ avec $M(x)=I+2xA+2x^2A^2$

Énoncé

Indices

La méthode — par où commencer

Correction détaillée

Débloque le corrigé complet

Exercice Terminé? 🎉

Matrice nilpotente et groupe $(E,\times)$ avec $M(x)=I+2xA+2x^2A^2$

Énoncé

Indices

La méthode — par où commencer

Correction détaillée

Débloque le corrigé complet

Exercice Terminé? 🎉

Valider votre réponse

Tu as vu 5 exercices aujourd'hui 🎯