Anneau intègre de matrices $M(a,b)$ et morphisme $\varphi=|a^2-3b^2|$

Soit $E=\{M(a,b)=\left(\begin{array}{cc}a& 3b\\ b& a\end{array}\right)|(a,b)\in {\mathbb{Z}}^2\}.$

1. a) Montrer que $E$ est un sous-groupe de $(M_2(\mathbb{R}),+)$.
   b) Vérifier que $M(a,b)\times M(c,d)=M(ac+3bd,ad+bc)$.
   c) En déduire que $(E,+,\times )$ est un anneau commutatif unitaire.
2. Soit $\phi :E\to \mathbb{Z},\phi (M(a,b))=|a^2-3b^2|$. Montrer que $\phi$ est un homomorphisme de $(E,\times )$ vers $(\mathbb{Z},\times )$.
3. a) Montrer que $M(a,b)\times M(a,-b)=(a^2-3b^2)I$.
   b) Montrer que si $M(a,b)$ est inversible dans $(E,\times )$ alors $\phi (M(a,b))=1$.
   c) Réciproquement, si $\phi (M(a,b))=1$, montrer que $M(a,b)$ est inversible et préciser son inverse.
4. a) Montrer que $\phi (M(a,b))=0⟺a=b=0$.
   b) En déduire que l'anneau $(E,+,\times )$ est intègre.
   c) $(E,+,\times )$ est-il un corps ?