Anneau commutatif unitaire non intègre sur $\mathbb{R}^2$

Sur ${\mathbb{R}}^2$ on définit deux lois $+$ et $\times$ par :

$(x,y)+(a,b)=(x+a,y+b),(x,y)\times (a,b)=(ax,bx+ay).$

1. Montrer que $({\mathbb{R}}^2,+)$ est un groupe commutatif.
2. Montrer que $\times$ est commutative, associative et admet un élément neutre.
3. Montrer que $({\mathbb{R}}^2,+,\times )$ est un anneau commutatif unitaire.
4. L'anneau $({\mathbb{R}}^2,+,\times )$ est-il intègre ? Justifier.