Anneau de matrices de type a + b√3 et intégrité

Soit $E=\left\{M(a,b)=\left(\begin{array}{cc}a& 3b\\ b& a\end{array}\right)/(a,b)\in {\mathbb{Z}}^2\right\}$.

1. 1. Montrer que $E$ est un sous-groupe de $(M_2(\mathbb{R}),+)$.
   2. Vérifier que $M(a,b)\times M(c,d)=M(ac+3bd,ad+bc)$.
   3. Montrer que $(E,+,\times )$ est un anneau commutatif unitaire.
2. Soit $\phi :E\to \mathbb{Z}$ définie par $\phi (M(a,b))=|a^2-3b^2|$. Montrer que $\phi$ est un homomorphisme de $(E,\times )$ vers $(\mathbb{Z},\times )$.
3. Montrer que $M(a,b)$ est inversible dans $(E,\times )$ si et seulement si $\phi (M(a,b))=1$, et préciser alors l'inverse.
4. Montrer que l'anneau $(E,+,\times )$ est intègre. Est-ce un corps ?