On définit sur C les lois ∗ et ⊥ par : ∀ ( x , y ) ∈ C 2 : x ∗ y = x + y − 2 i ∀ ( x , y ) ∈ C 2 : x ⊥ y = 2 i x y + 4 ( x + y ) − 6 i On considère l'application f : C → C , z ↦ − 2 i z + 2 i . Montrer que f est bijective et déterminer f − 1 . Montrer que f est un homomorphisme de ( C , + ) vers ( C , ∗ ) , et en déduire la structure de ( C , ∗ ) ainsi que son neutre. Montrer que f est un homomorphisme de ( C , × ) vers ( C , ⊥ ) . Montrer que ( C , ∗ , ⊥ ) est un corps commutatif.

Corps commutatif sur C par transport de structure

Difficile

On définit sur $C$ les lois $*$ et $⊥$ par :

$\forall (x, y) \in C^{2} : x * y = x + y - 2 i$

$\forall (x, y) \in C^{2} : x ⊥ y = 2 i x y + 4 (x + y) - 6 i$

On considère l'application $f : C \to C, z \mapsto - \frac{i}{2} z + 2 i$ .

Montrer que $f$ est bijective et déterminer $f^{- 1}$ .
Montrer que $f$ est un homomorphisme de $(C, +)$ vers $(C, *)$ , et en déduire la structure de $(C, *)$ ainsi que son neutre.
Montrer que $f$ est un homomorphisme de $(C, \times)$ vers $(C, ⊥)$ .
Montrer que $(C, *, ⊥)$ est un corps commutatif.

— clique pour révéler

1 Indice 1

Pour la bijectivité, remarquez que $f$ est affine avec un coefficient non nul, puis résolvez $w = f(z)$ pour trouver $z$ en fonction de $w$.

2 Indice 2

Pour l'homomorphisme, calculez $f(x) * f(y)$ en remplaçant par la définition de $*$, puis comparez à $f(x+y)$.

3 Indice 3

Pour le neutre de $*$, cherchez l'image par $f$ du neutre $0$ de l'addition.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour la bijectivité, remarquez que $f$ est affine avec un coefficient non nul, puis résolvez $w = f (z)$ pour trouver $z$ en fonction de $w$ .

Pour l'homomorphisme, calculez $f (x) * f (y)$ en remplaçant par la définition de $*$ , puis comparez à $f (x + y)$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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