Groupe multiplicatif des matrices $C(n)=3^nI+((-1)^n-3^n)A$

Difficile
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Énoncé

Dans on considère :

  1. Montrer que , et en déduire que n'est pas inversible.
  2. Montrer que pour tout :
  3. On pose, pour , et . Montrer que est un groupe commutatif.

Indices

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1 Indice 1
Pour montrer $A^2=A$, effectue directement le produit matriciel $A\times A$.
2 Indice 2
Pour la relation sur $B^n$, procede par recurrence : verifie le rang $n=1$, puis suppose la propriete vraie au rang $n$ et calcule $B^{n+1}=B^n\times B$ en utilisant $B=3I-4A$ et $A^2=A$.
3 Indice 3
Pour la structure de groupe, montre d'abord que $C(n)\times C(m)=C(n+m)$, ce qui donne directement la stabilite, le neutre $C(0)$ et le symetrique $C(-n)$.

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La méthode — par où commencer

Pour montrer , effectue directement le produit matriciel .

Pour la relation sur , procede par recurrence : verifie le rang , puis suppose la propriete vraie au rang et calcule en utilisant et .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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Groupe commutatif sur $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ muni de $x*y=x+y+xy$ Tous les exercices du chapitre Anneau commutatif unitaire non intègre sur $\mathbb{R}^2$