Anneau de matrices, morphisme et inversibilité

Soit l'ensemble $E=\left\{M(a,b)=\left(\begin{array}{cc}a& 3b\\ b& a\end{array}\right)|(a,b)\in {\mathbb{Z}}^2\right\}$.

1. Vérifier que pour tous entiers $a,b,c,d$ : $M(a,b)\times M(c,d)=M(ac+3bd,ad+bc)$, et montrer que $(E,+,\times )$ est un anneau commutatif unitaire.
2. Soit $\phi :E\to \mathbb{Z}$ définie par $\phi (M(a,b))=\left|a^2-3b^2\right|$. Montrer que $\phi$ est un morphisme de $(E,\times )$ vers $(\mathbb{Z},\times )$.
3. Montrer que $M(a,b)$ est inversible dans $(E,\times )$ si et seulement si $\phi (M(a,b))=1$.
4. L'anneau $(E,+,\times )$ est-il un corps ?