Anneau commutatif unitaire sur R² et intégrité

Intermédiaire
Partager

Énoncé

Sur on définit deux lois et par : pour tous ,

  1. Montrer que est un groupe commutatif.
  2. Montrer que est commutative, associative et admet un élément neutre.
  3. Montrer que est un anneau commutatif unitaire.
  4. Cet anneau est-il intègre ?

Indices

— clique pour révéler
1 Indice 1
Pour montrer que $(\mathbb{R}^2, +)$ est un groupe commutatif, vérifie les quatre propriétés : associativité, élément neutre, symétrique (opposé) et commutativité. Ici l'addition est composante par composante, donc inspire-toi de l'addition usuelle sur $\mathbb{R}$.
2 Indice 2
Pour vérifier si l'anneau est intègre, cherche s'il existe des diviseurs de zéro non nuls. Teste par exemple $(0, 1) \times (0, 1)$ : calcule le produit avec la formule $(x, y) \times (a, b) = (ax, bx + ay)$ et regarde si tu obtiens $(0, 0)$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Demander à Prof Hicham

La méthode — par où commencer

Pour montrer que est un groupe commutatif, vérifie les quatre propriétés : associativité, élément neutre, symétrique (opposé) et commutativité. Ici l'addition est composante par composante, donc inspire-toi de l'addition usuelle sur .

Pour vérifier si l'anneau est intègre, cherche s'il existe des diviseurs de zéro non nuls. Teste par exemple : calcule le produit avec la formule et regarde si tu obtiens .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

Exercice Terminé? 🎉

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points

Un groupe multiplicatif de matrices via une suite C(n) Tous les exercices du chapitre Anneau de matrices, morphisme et inversibilité