Étude d'une loi sur un intervalle fermé On définit sur l'intervalle [ 0 ; 1 ] la loi ∗ par : ∀ x , y ∈ [ 0 ; 1 ] : x ∗ y = x + y − x y Montrer que ∗ est une loi de composition interne, commutative et associative sur [ 0 ; 1 ] . Montrer que ∗ possède un élément neutre. Déterminer les éléments de [ 0 ; 1 ] qui admettent un symétrique. Déterminer les éléments réguliers pour ∗ .

Loi de composition interne sur [0;1]

Intermédiaire

On définit sur l'intervalle $[0; 1]$ la loi $*$ par :

$\forall x, y \in [0; 1] : x * y = x + y - x y$

Montrer que $*$ est une loi de composition interne, commutative et associative sur $[0; 1]$ .
Montrer que $*$ possède un élément neutre.
Déterminer les éléments de $[0; 1]$ qui admettent un symétrique.
Déterminer les éléments réguliers pour $*$ .

— clique pour révéler

1 Indice 1

Pour montrer que $*$ est interne, commence par factoriser $x*y - 1$ sous la forme $(1-y)(x-1)$ et étudie son signe sur $[0;1]$.

2 Indice 2

Pour l'élément neutre, cherche $e$ tel que $x*e = x$ pour tout $x$. Cela donne $e(1-x) = 0$, qui doit être vrai même quand $x \neq 1$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour montrer que $*$ est interne, commence par factoriser $x * y - 1$ sous la forme $(1 - y) (x - 1)$ et étudie son signe sur $[0; 1]$ .

Pour l'élément neutre, cherche $e$ tel que $x * e = x$ pour tout $x$ . Cela donne $e (1 - x) = 0$ , qui doit être vrai même quand $x \neq = 1$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

Continue sur la même notion

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points