Matrice inverse et structure de groupe sur $]1,+\infty[$

Partie 1. Dans $(M_3(\mathbb{R}),+,\times )$ on considère $I=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$ et $A=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{5}-1}{2}& 0& 0\\ 0& -2& -1\\ 0& 1& 1\end{array}\right).$

1. Calculer $I-A$ et $A^2$.
2. En déduire que $A$ admet une matrice inverse.

Partie 2. Pour $a,b\in I_0=]1,+\infty [$ on pose $a\ast b=\sqrt{a^2{b}^2-a^2-b^2+2}$.

1. Vérifier que $\forall (x,y)\in {\mathbb{R}}^2:x^2{y}^2-x^2-y^2+2=(x^2-1)(y^2-1)+1.$
2. Montrer que $\ast$ est une loi de composition interne sur $I_0$.
3. Soit $\phi :{\mathbb{R}}_{+}^{\ast }\to I_0,\phi (x)=\sqrt{x+1}$. Montrer que $\phi$ est un homomorphisme bijectif de $({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\times )$ vers $(I_0,\ast )$, en déduire la structure de $(I_0,\ast )$.
4. On pose $H=\{\sqrt{1+2^m}\mid m\in \mathbb{Z}\}$. Montrer que $(H,\ast )$ est un sous-groupe de $(I_0,\ast )$.