Suite croissante et majorée (série harmonique partielle)

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Énoncé

نص التمرين

لتكن المتتالية المعرفة بـ:

  1. بين أن المتتالية متزايدة.

  2. بين أن المتتالية متقاربة.

إرشادات

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1 الإرشاد 1
Pour montrer que $(U_n)$ est croissante, calcule $U_{n+1} - U_n$. Écris d'abord les deux sommes explicitement : $U_{n+1}$ va de $\dfrac{1}{n+2}$ à $\dfrac{1}{2n+2}$, et $U_n$ va de $\dfrac{1}{n+1}$ à $\dfrac{1}{2n}$. Observe les termes qui apparaissent et disparaissent.
2 الإرشاد 2
Pour la convergence, encadre chaque terme $\dfrac{1}{n+k}$ : comme $n+1 \leq n+k \leq 2n$, tu as $\dfrac{1}{2n} \leq \dfrac{1}{n+k} \leq \dfrac{1}{n+1}$. Somme ces inégalités pour obtenir un encadrement de $U_n$, puis utilise le théorème des suites croissantes majorées.

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الطريقة — من أين نبدأ

Pour montrer que est croissante, calcule . Écris d'abord les deux sommes explicitement : va de à , et va de à . Observe les termes qui apparaissent et disparaissent.

Pour la convergence, encadre chaque terme : comme , tu as . Somme ces inégalités pour obtenir un encadrement de , puis utilise le théorème des suites croissantes majorées.

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

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Limites avec la fonction partie entière كل تمارين الدرس Suite définie par une relation à trois termes