نص التمرين لتكن ( u n ) متتالية بحيث، لكل n ∈ N : ( 1 − u n ) u n + 1 ≥ 4 1 و u n ∈ ] 0 ; 1 [ . بيّن أنه لكل x ∈ ] 0 ; 1 [ : ( 1 − x ) x ≤ 4 1 . بيّن أن ( u n ) متقاربة. عيّن نهاية ( u n ) .

Suite encadrée par une inégalité produit

Difficile

Énoncé

نص التمرين

لتكن $(u_{n})$ متتالية بحيث، لكل $n \in N$ :

$(1 - u_{n}) u_{n + 1} \geq \frac{1}{4} و u_{n} \in] 0; 1 [.$

بيّن أنه لكل $x \in] 0; 1 [$ : $(1 - x) x \leq \frac{1}{4}$ .
بيّن أن $(u_{n})$ متقاربة.
عيّن نهاية $(u_{n})$ .

إرشادات

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1 الإرشاد 1

Pour la question 1, essaie d'écrire $\dfrac{1}{4} - (1-x)x$ comme un carré parfait.

2 الإرشاد 2

Pour la question 2, applique l'inégalité de la question 1 à $x = u_n$, puis compare avec l'hypothèse $(1-u_n)u_{n+1} \geq \dfrac{1}{4}$ pour en déduire une comparaison entre $u_n$ et $u_{n+1}$.

3 الإرشاد 3

Pour la question 3, passe à la limite dans les deux inégalités obtenues et résous l'équation du second degré qui en résulte.

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Pour la question 1, essaie d'écrire $\frac{1}{4} - (1 - x) x$ comme un carré parfait.

Pour la question 2, applique l'inégalité de la question 1 à $x = u_{n}$ , puis compare avec l'hypothèse $(1 - u_{n}) u_{n + 1} \geq \frac{1}{4}$ pour en déduire une comparaison entre $u_{n}$ et $u_{n + 1}$ .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

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