بطاقة المراجعة — الجذع المشترك العلمي

المنطق، المجموعات، الدوال، المتتاليات، الحساب المثلثي، التعداد · atlasmaths.com

∞ مجموعات الأعداد 📄 مذكرة ←

الاحتواءات

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

المجالات

[a,b] مغلق · ]a,b[ مفتوح · [a,b[ نصف مفتوح

القيمة المطلقة

|x| = x si x≥0, |x| = −x si x<0

خاصيات |.|

|a×b| = |a|×|b| · |a+b| ≤ |a|+|b|

أخطاء يجب تجنّبها

✗ $2$ ∈ ℝ لكن $2$ ∉ ℚ (عدد غير جذري)

🧠 المنطق الرياضياتي 📄 مذكرة ←

الاستلزام

P ⇒ Q : إذا كانت P صحيحة، فإن Q صحيحة

النقيض المضاد (مكافئ)

Non Q ⇒ Non P

العكس (ليس صحيحا بالضرورة)

Q ⇒ P

نفي ∀

¬(∀x, P(x)) = ∃x, ¬P(x)

نفي ∃

¬(∃x, P(x)) = ∀x, ¬P(x)

الترجع

1) التأسيس (n=0 أو n=1) · 2) التوارث (P(n)→P(n+1))

أخطاء يجب تجنّبها

✗P ⇒ Q تكون صحيحة عندما تكون P خاطئة (مهما كانت Q) !
✗العكس ليس صحيحا بالضرورة

f(x) الدوال — عموميات 📄 مذكرة ←

الزوجية

زوجية : f(−x) = f(x) · فردية : f(−x) = −f(x)

الرتابة

تزايدية : x₁

  الصورة/السابق
  f(a) = b → b هي صورة a بالدالة f · a سابق للعدد b

    للتذكّر منحنى دالة زوجية = متماثل بالنسبة لمحور الأراتيب

  📊 الإحصاء 📄 مذكرة ← 
    المتوسط الحسابي
   $\overline{x}$  = (Σ  $n_{i}$ × $x_{i}$ ) / Σ $n_{i}$   
 
 
  الوسيط
  القيمة التي تقسم السلسلة إلى نصفين متساويين  
 
 
  المدى
  max − min  
 
 
  التباين
  V = (Σ  $n_{i}$ ( $x_{i}$ − $\overline{x}$ )²) / n  
 
 
  الانحراف المعياري
  σ =  $V$   
 
 
 
  أخطاء يجب تجنّبها
  ✗الوسيط ≠ المتوسط الحسابي (إلا في التوزيع المتماثل)

  ⊂ العمليات على المجموعات 📄 مذكرة ← 
    الاتحاد
  A ∪ B = {x | x∈A ou x∈B} مثال : {1,2} ∪ {2,3} = {1,2,3}
 
 
 
  التقاطع
  A ∩ B = {x | x∈A et x∈B} مثال : {1,2} ∩ {2,3} = {2}
 
 
 
  المتممة
  Ā = {x∈E | x∉A}  
 
 
  الفرق
  A \ B = {x∈A | x∉B} = A ∩  $\overline{B}$   
 
 
  قوانين دو مورغان
  (A∪B)̄ = Ā∩ $\overline{B}$    ·   (A∩B)̄ = Ā∪ $\overline{B}$   
 
 
  التوزيعية
  A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)  
 
 
  الفرق المتماثل
  AΔB = (A\B) ∪ (B\A) = (A∪B) \ (A∩B)  
 
 
 
  أخطاء يجب تجنّبها
  ✗A ∩ B = ∅ لا تعني A = ∅ أو B = ∅ !
✗(A∪B)̄ = Ā∩ $\overline{B}$  (دو مورغان) : يصبح الاتحاد تقاطعا بعد المتممة
✗A ⊂ B ≠ A ∈ B (الاحتواء مقابل الانتماء)
 
 
   للتذكّر مخططات فِن : ارسمها دائما لتمثيل العمليات على المجموعات

  ⊢ المنطق والروابط المنطقية 📄 مذكرة ← 
    النفي ¬
  ¬P صحيحة ⇔ P خاطئة  ·  ¬(¬P) = P  
 
 
  العطف ∧
  "P و Q" صحيحة ⇔ P صحيحة و Q صحيحة  
 
 
  الفصل ∨
  "P أو Q" صحيحة ⇔ P صحيحة أو Q صحيحة (أو كلاهما — جامع !)  
 
 
  الاستلزام ⇒
  P ⇒ Q خاطئة فقط إذا كانت P صحيحة و Q خاطئة  ·  إذا كانت P خاطئة → الاستلزام صحيح دائما  
 
 
  التكافؤ ⇔
  P ⇔ Q صحيحة ⇔ P و Q لهما نفس قيمة الصحة  ·  استلزام مزدوج  
 
 
  النقيض المضاد
  P ⇒ Q  ≡  ¬Q ⇒ ¬P  (مكافئ تماما)  
 
 
  قوانين دو مورغان
  ¬(P∧Q) = ¬P∨¬Q   ·   ¬(P∨Q) = ¬P∧¬Q  
 
 
  المكمم الكلي
  ∀x∈E, P(x) : P(x) صحيحة لكل x من E  ·  النفي : ∃x∈E, ¬P(x)  
 
 
  المكمم الوجودي
  ∃x∈E, P(x) : يوجد على الأقل x واحد  ·  ∃!x : وحيد  ·  النفي : ∀x∈E, ¬P(x)  
 
 
 
  أخطاء يجب تجنّبها
  ✗"أو" الرياضياتية جامعة — "P أو Q" صحيحة حتى إذا كانت P و Q صحيحتين معا
✗"أو الفاصل" (XOR) يقال له "إما" في الرياضيات
✗P ⇒ Q مع P خاطئة تكون صحيحة دائما (مثلا : "1=0 ⇒ 3²=9" صحيحة !)
✗العكس (Q⇒P) ليس مكافئا لـ (P⇒Q) — النقيض المضاد وحده هو المكافئ
✗نفي ∀x : يكفي مثال مضاد · نفي ∃x : يجب إثبات ∀x,¬P(x)
 
 
   للتذكّر P⇒Q ≡ ¬Q⇒¬P (النقيض المضاد). لنفي مكمم : ¬(∀x,P) = ∃x,¬P و ¬(∃x,P) = ∀x,¬P

  🔍 طرق البرهان 📄 مذكرة ← 
    البرهان المباشر
  افتراض P صحيحة → تسلسل المراحل → استنتاج Q  
 
 
  النقيض المضاد
  إثبات (¬Q ⇒ ¬P) بدل (P ⇒ Q) — مكافئ تماما  
 
 
  البرهان بالخلف
  افتراض ¬Q → إظهار تناقض → Q صحيحة  
 
 
  الترجع
  ① التأسيس : التحقق من P(n₀) · ② التوارث : P(n) ⇒ P(n+1)  
 
 
  المثال المضاد
  مثال مضاد واحد يدحض "∀x, P(x)"  
 
 
 
  أخطاء يجب تجنّبها
  ✗الترجع : التوارث بدون تأسيس لا يثبت شيئا
✗العكس P⇐Q ليس مكافئا لـ P⇒Q
✗دحض ∃x,P(x) يتطلب إثبات ∀x,¬P(x) — حالة واحدة لا تكفي
 
 
   للتذكّر النقيض المضاد (¬Q ⇒ ¬P) مكافئ لـ (P ⇒ Q) — استعمله عندما يصعب استثمار P

  ∑ المتتاليات العددية (ج.م) 📄 مذكرة ← 
    متتالية حسابية
   $u_{n} = u_{0} + n \times r \cdot S_{n} = \frac{( n + 1 ) ( u _{0} + u _{n} )}{2}$  مثال : r=3, u₀=1 → u₁₀=31
 
 
 
  متتالية هندسية
   $u_{n} = u_{0} \times q^{n} \cdot S_{n} = \frac{u _{0} ( q ^{n + 1} - 1 )}{q - 1}$  مثال : q=2, u₀=1 → u₅=32
 
 
 
  الحد العام
  البحث إذا كان  $u_{n + 1} - u_{n} =$  ثابت (حسابية) أو  $u_{n + 1} / u_{n} =$  ثابت (هندسية)  
 
 
  منحى التغير
  حسابية : r>0 → تزايدية · هندسية (u₀>0) : q>1 → تزايدية، 0  
 
 
 
  أخطاء يجب تجنّبها
  ✗المجموع  $S_{n}$  = u₀+u₁+...+ $u_{n}$  يضم (n+1) حدا، وليس n
✗متتالية هندسية مع q<0 : الحدود تتناوب في الإشارة
 
 
   للتذكّر بالنسبة لمتتالية معرفة بالترجع $u_{n+1}$=f($u_n$) : ادرس إشارة $u_{n+1}$−$u_n$ لتحديد الرتابة

  🎲 التعداد 📄 مذكرة ← 
    المبدأ الضربي
  p اختيار ثم q اختيار → p×q إمكانية في المجموع مثال : 3 قمصان × 4 سراويل = 12 طقما
 
 
 
  الترتيبات (الترتيب يهم)
   $A_{n}^{p}$  = n! / (n−p)! مثال : A₅² = 5×4 = 20 (اختيار 2 من 5 مع الترتيب)
 
 
 
  التأليفات (الترتيب لا يهم)
   $C_{n}^{p}$  = n! / (p!(n−p)!) مثال : C₅² = 10
 
 
 
  العاملي
  n! = n×(n−1)×…×1  ·  0! = 1  ·  1! = 1  
 
 
  الخاصيات
   $C_{n}$ ⁰ = 1 ·  $C_{n}$ ⁿ = 1 ·  $C_{n}^{p}$  =  $C_{n}$ ⁿ⁻ $^{p}$  ·  $C_{n}^{p}$  +  $C_{n}^{p}$ ⁺¹ =  $C_{n + 1}$  $^{p}$ ⁺¹  
 
 
 
  أخطاء يجب تجنّبها
  ✗الترتيبات : الترتيب يهم (ABC ≠ BAC) — التأليفات : الترتيب لا يهم
✗ $C_{n}^{p}$  =  $C_{n}$ ⁿ⁻ $^{p}$  : خاصية التماثل مفيدة جدا للتبسيط
 
 
   للتذكّر مثلث باسكال : السطر n، الموضع p يعطي $C_n^{p}$. كل خانة = مجموع الخانتين فوقها.

  📍 المعلم والمستقيمات في المستوى 📄 مذكرة ← 
    المسافة بين نقطتين
   $A B = (x_{B} - x_{a})^{2} + (y_{B} - y_{a})^{2}$   
 
 
  منتصف [AB]
   $I = (\frac{x _{a} + x _{B}}{2}; \frac{y _{a} + y _{B}}{2})$   
 
 
  معادلة مستقيم
   $y = a x + b$   أو   $a x + b y + c = 0$  (الصيغة العامة)  
 
 
  المعامل الموجه
   $a = \frac{y _{B} - y _{a}}{x _{B} - x _{a}}$   إذا   $x_{B} \neq = x_{a}$   
 
 
  مستقيمان متوازيان
   $a_{1} = a_{2}$  و  $b_{1} \neq = b_{2}$   
 
 
  مستقيمان متعامدان
   $a_{1} \times a_{2} = - 1$   
 
 
 
  أخطاء يجب تجنّبها
  ✗مستقيم عمودي : المعادلة x = k (لا يوجد معامل موجه معرف)
✗تقاطع مستقيمين : حل نظمة المعادلات

  P(x) الحدوديات والتعميل 📄 مذكرة ← 
    المتطابقات الهامة
   $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2} \cdot (a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2} \cdot (a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$   
 
 
  جذر حدودية
  P(a)=0 ⇔ (x−a) يقسم P(x)  
 
 
  حدودية من الدرجة الثانية
  P(x)=ax²+bx+c · Δ=b²−4ac · x₁,₂=(−b± $Δ$ )/(2a)  
 
 
  التعميل
  إذا Δ>0 : P(x)=a(x−x₁)(x−x₂) · إذا Δ=0 : P(x)=a(x−x₀)² · إذا Δ<0 : لا يوجد جذر حقيقي  
 
 
  إشارة P(x)
  إذا Δ<0 : P(x) لها إشارة a. إذا Δ≥0 : P(x) سالبة بين الجذرين (إذا a>0)  
 
 
 
  أخطاء يجب تجنّبها
  ✗Δ = b² − 4ac (وليس b² + 4ac)
✗إذا Δ < 0 → لا يوجد جذر حقيقي → P(x) تحافظ على إشارة ثابتة
 
 
   للتذكّر مجموع وجداء الجذرين : x₁+x₂ = −b/a  و  x₁×x₂ = c/a

  🔄 الحساب المثلثي (الدائرة المثلثية) 📄 مذكرة ← 
    الراديان
  1 radian = 180°/π  ·  180° = π rad  ·  360° = 2π rad مثال : 90° = π/2 · 60° = π/3 · 45° = π/4 · 30° = π/6
 
 
 
  جيب التمام والجيب على الدائرة
  النقطة M(cosθ ; sinθ) على الدائرة المثلثية (الشعاع 1)  
 
 
  العلاقة الأساسية
  cos²θ + sin²θ = 1  (لكل θ ∈ ℝ)  
 
 
  الأقواس المرتبطة
  cos(π−θ) = −cosθ · sin(π−θ) = sinθ · cos(−θ) = cosθ · sin(−θ) = −sinθ  
 
 
    cos(π+θ) = −cosθ · sin(π+θ) = −sinθ · cos(π/2−θ) = sinθ · sin(π/2−θ) = cosθ  
 
 
  القيم المضبوطة
  cos 0=1 · cos π/6= $3$ /2 · cos π/4= $2$ /2 · cos π/3=1/2 · cos π/2=0 · cos π=−1  
 
 
  الظل
  tan θ = sin θ / cos θ  (معرف إذا cos θ ≠ 0، أي θ ≠ π/2 + kπ)  
 
 
 
  أخطاء يجب تجنّبها
  ✗cos و sin يأخذان قيما في [−1 ; 1] — أبدا > 1 أو < −1
✗لا تخلط بين الزاوية بالدرجات والراديان في الآلة الحاسبة
✗tan غير معرف عند π/2 + kπ — تحقق دائما
 
 
   للتذكّر الدائرة المثلثية : إحداثيتا النقطة = (cosθ ; sinθ). لكل k∈ℤ : cos(θ+2kπ) = cosθ · sin(θ+2kπ) = sinθ

  · الجداء السلمي في المستوى 📄 مذكرة ← 
    التعريف (الزاوية)
   $u^{\to}$ · $v^{\to}$  = | $u^{\to}$ |·| $v^{\to}$ |·cos(θ)  حيث θ = الزاوية بين  $u^{\to}$  و  $v^{\to}$   
 
 
  بالإحداثيات
   $u^{\to}$ (x₁;y₁) ·  $v^{\to}$ (x₂;y₂) = x₁x₂ + y₁y₂  
 
 
  المنظم
  | $u^{\to}$ |² =  $u^{\to}$ · $u^{\to}$  = x² + y²  →  | $u^{\to}$ | =  $x^{2} + y^{2}$   
 
 
  التعامد
   $u^{\to}$  ⊥  $v^{\to}$   ⇔   $u^{\to}$ · $v^{\to}$  = 0  ⇔  x₁x₂ + y₁y₂ = 0  
 
 
  صيغة الاستقطاب
   $u^{\to}$ · $v^{\to}$  = ½(| $u^{\to}$ + $v^{\to}$ |² − | $u^{\to}$ |² − | $v^{\to}$ |²)  أو  = ½(| $u^{\to}$ |²+| $v^{\to}$ |²−| $u^{\to}$ − $v^{\to}$ |²)  
 
 
  علاقة الكاشي
  BC² = AB² + AC² − 2·AB·AC·cos(Â)  →  تعميم فيتاغورس  
 
 
 
  أخطاء يجب تجنّبها
  ✗الجداء السلمي = عدد (سلمي)، وليس متجهة
✗ $u^{\to}$ · $v^{\to}$  = 0 ⇔ متجهتان متعامدتان — أو إحدى المتجهتين منعدمة
✗الكاشي : الزاوية Â مقابلة للضلع BC (الضلع المطلوب أو المعلوم)
 
 
   للتذكّر الكاشي مع Â = 90° يعطي فيتاغورس : BC² = AB² + AC²

 
بطاقة من إنجاز Atlasmaths · منصة الرياضيات للتلاميذ المغاربة
 atlasmaths.com · TC · بالتوفيق !

بطاقة المراجعة — الجذع المشترك العلمي

∞ مجموعات الأعداد 📄 مذكرة ←

🧠 المنطق الرياضياتي 📄 مذكرة ←

f(x) الدوال — عموميات 📄 مذكرة ←

📊 الإحصاء 📄 مذكرة ←

⊂ العمليات على المجموعات 📄 مذكرة ←

⊢ المنطق والروابط المنطقية 📄 مذكرة ←

🔍 طرق البرهان 📄 مذكرة ←

∑ المتتاليات العددية (ج.م) 📄 مذكرة ←

🎲 التعداد 📄 مذكرة ←

📍 المعلم والمستقيمات في المستوى 📄 مذكرة ←

P(x) الحدوديات والتعميل 📄 مذكرة ←

🔄 الحساب المثلثي (الدائرة المثلثية) 📄 مذكرة ←

· الجداء السلمي في المستوى 📄 مذكرة ←

Installe Atlasmaths sur ton téléphone