Tu vois des pourcentages partout : « -30% sur cette veste », « +15% de batterie », « 20% de TVA »... Mais comment fait-on pour calculer un pourcentage exactement ? Bonne nouvelle : c'est l'un des calculs les plus simples des mathématiques, et une fois la méthode comprise, tu ne te tromperas plus jamais. On reprend tout depuis le début, pas à pas, avec des exemples concrets en dirhams.
Qu'est-ce qu'un pourcentage ?
Un pourcentage, c'est tout simplement une fraction dont le dénominateur est 100. Le symbole % veut dire « pour cent », c'est-à-dire « sur 100 ».
- 25% signifie 25 sur 100, soit la fraction 25/100 = 0,25
- 50% signifie 50 sur 100, soit 50/100 = 0,5 (la moitié)
- 100% signifie 100 sur 100, soit le tout en entier
Retiens cette idée clé : un pourcentage est juste un nombre décimal déguisé. Pour passer du pourcentage au nombre décimal, on divise par 100. Pour passer du décimal au pourcentage, on multiplie par 100.
Calculer X% d'une quantité
C'est la situation la plus fréquente : « Combien font 20% de 150 ? ». La méthode est toujours la même.
Méthode : pour calculer X% d'une quantité, on multiplie la quantité par X, puis on divise par 100. Autrement dit :
X% d'une quantité = (quantité × X) ÷ 100
Exemple résolu pas à pas
Un manteau coûte 800 dirhams. Le magasin propose une remise de 20%. Combien représente cette remise ?
- Étape 1 : on multiplie : 800 × 20 = 16 000
- Étape 2 : on divise par 100 : 16 000 ÷ 100 = 160
La remise est donc de 160 dirhams. Le manteau coûtera 800 − 160 = 640 dirhams.
Astuce rapide : tu peux aussi écrire 20% = 0,20 et faire directement 800 × 0,20 = 160. C'est le même calcul, en plus court !
Trouver le pourcentage qu'une partie représente
Question inverse : « Sur 25 élèves, 5 portent des lunettes. Quel pourcentage cela fait-il ? »
Méthode : on divise la partie par le total, puis on multiplie par 100.
Pourcentage = (partie ÷ total) × 100
Exemple résolu pas à pas
- Étape 1 : on divise la partie par le total : 5 ÷ 25 = 0,2
- Étape 2 : on multiplie par 100 : 0,2 × 100 = 20
Donc 20% des élèves portent des lunettes. Vérification : 20% de 25 = (25 × 20) ÷ 100 = 5. Parfait, on retombe bien sur 5 élèves.
Augmentation et réduction : le coefficient multiplicateur
Voici la notion la plus puissante pour calculer un pourcentage d'augmentation ou de réduction. Au lieu de calculer la variation puis de l'ajouter ou la retrancher, on multiplie directement par un seul nombre : le coefficient multiplicateur (souvent noté CM).
- Augmenter de t% : on multiplie par CM = 1 + t/100
- Diminuer de t% : on multiplie par CM = 1 − t/100
Exemple : une augmentation (la TVA)
Un produit coûte 200 dirhams hors taxe. On ajoute une TVA de 20%. Quel est le prix TTC ?
- Coefficient multiplicateur : 1 + 20/100 = 1,20
- Prix TTC : 200 × 1,20 = 240 dirhams
Exemple : une réduction (les soldes)
Une paire de chaussures à 500 dirhams est soldée à −30%. Quel est le nouveau prix ?
- Coefficient multiplicateur : 1 − 30/100 = 0,70
- Prix soldé : 500 × 0,70 = 350 dirhams
Les évolutions successives
Attention, voici un piège classique ! Quand on applique plusieurs pourcentages à la suite, on ne les additionne JAMAIS. On multiplie les coefficients entre eux.
Exemple résolu pas à pas
Un article de 100 dirhams augmente d'abord de 10%, puis baisse de 10%. Revient-on au prix de départ ?
- Après l'augmentation : 100 × 1,10 = 110 dirhams
- Après la baisse : 110 × 0,90 = 99 dirhams
Surprise : on obtient 99 dirhams, pas 100 ! Le coefficient global est 1,10 × 0,90 = 0,99, ce qui correspond à une baisse globale de 1%. Une hausse de 10% suivie d'une baisse de 10% n'annule donc pas tout. C'est exactement pour cette raison qu'on multiplie les coefficients.
Le taux d'évolution
Le taux d'évolution mesure de combien de pourcents une grandeur a varié entre une valeur de départ et une valeur d'arrivée.
Taux = (valeur d'arrivée − valeur de départ) ÷ valeur de départ × 100
Exemple résolu pas à pas
Le prix d'un abonnement passe de 40 dirhams à 50 dirhams. Quel est le taux d'évolution ?
- Étape 1 : variation = 50 − 40 = 10
- Étape 2 : on divise par la valeur de départ : 10 ÷ 40 = 0,25
- Étape 3 : on multiplie par 100 : 0,25 × 100 = 25
L'abonnement a donc augmenté de 25%. Un taux positif indique une hausse, un taux négatif une baisse.
L'évolution réciproque : revenir en arrière
Imagine qu'un prix ait augmenté de 25%. Quel pourcentage faut-il lui retirer pour revenir au prix d'origine ? Ce n'est pas −25% ! On parle d'évolution réciproque.
Méthode : on prend l'inverse du coefficient multiplicateur. Si le coefficient était CM, le coefficient réciproque est 1 ÷ CM.
Exemple résolu pas à pas
Un loyer de 2000 dirhams a augmenté de 25% (coefficient 1,25). De quel pourcentage doit-il baisser pour revenir à 2000 dirhams ?
- Nouveau loyer : 2000 × 1,25 = 2500 dirhams
- Coefficient réciproque : 1 ÷ 1,25 = 0,80
- Vérification : 2500 × 0,80 = 2000 dirhams. On est bien revenu au départ !
Un coefficient de 0,80 correspond à une baisse de 20% (car 1 − 0,80 = 0,20). Donc une hausse de 25% s'annule par une baisse de 20%, et non de 25%. Voilà un résultat qui surprend toujours !
Récapitulatif des formules
- X% d'une quantité : quantité × X ÷ 100
- Pourcentage d'une partie : partie ÷ total × 100
- Augmenter de t% : × (1 + t/100)
- Diminuer de t% : × (1 − t/100)
- Évolutions successives : on multiplie les coefficients
- Taux d'évolution : (arrivée − départ) ÷ départ × 100
- Évolution réciproque : coefficient inverse = 1 ÷ CM
Le calcul de pourcentage te suivra toute ta scolarité, jusqu'aux intérêts composés et à l'économie au bac. Pour t'entraîner, va voir notre cours Tronc Commun complet, puis teste-toi avec nos exercices corrigés. Le secret, comme toujours en maths : refaire les exemples soi-même, sans regarder la solution !