Conjecture de Collatz (3n+1) : le mystère qu'un enfant peut comprendre, mais que les meilleurs cerveaux ne peuvent prouver

L'énoncé en 30 secondes

Tu prends un entier $n \geq 1$ . Tu appliques la règle suivante :

Si $n$ est pair, tu le remplaces par $n /2$ .
Si $n$ est impair, tu le remplaces par $3 n + 1$ .

Tu recommences indéfiniment. La conjecture de Collatz affirme : peu importe ton choix initial, tu finis toujours par atteindre $1$ (puis le cycle $1 \to 4 \to 2 \to 1$ ).

Un exemple

Partons de $n = 27$ . La suite donne :

27 → 82 → 41 → 124 → 62 → 31 → 94 → 47 → 142 → 71 → 214 → 107 → 322 → 161 → 484 → 242 → 121 → 364 → 182 → 91 → 274 → 137 → 412 → 206 → 103 → 310 → 155 → ... → 1

La suite monte jusqu'à 9 232 avant de redescendre. Elle atteint $1$ après 111 étapes. Pour $n = 27$ , ça marche. Mais pourquoi tous les entiers ?

L'histoire

Posée vers 1937 par le mathématicien allemand Lothar Collatz, la conjecture est restée confidentielle jusqu'aux années 1970, où elle a explosé dans la communauté mathématique. Tout le monde a essayé. Aucun n'a réussi.

Le célèbre Paul Erdős, un des mathématiciens les plus prolifiques du XXᵉ siècle (plus de 1 500 articles publiés), a offert 500 dollars pour une démonstration. Et il a ajouté cette phrase devenue mythique :

« Les mathématiques ne sont peut-être pas encore prêtes pour de tels problèmes. »

Ce qu'on a vérifié

Les ordinateurs ont testé la conjecture pour TOUS les entiers jusqu'à $2^{71} \approx 2, 36 \times 1 0^{21}$ (vérification 2025). Aucun contre-exemple n'a été trouvé. Toujours, on tombe sur 1.

Mais comme pour Riemann : ce n'est pas une démonstration. La conjecture concerne tous les entiers, pas seulement « les premiers $1 0^{21}$ ».

Pourquoi est-ce si dur ?

Le problème combine deux comportements opposés :

Quand $n$ est pair, la suite décroît (divisée par 2).
Quand $n$ est impair, la suite croît (multipliée par environ 3).

En moyenne, sur un pas, la suite décroît (multiplier par 3 puis diviser par 2 plusieurs fois). Mais ce n'est qu'une moyenne statistique. Pour prouver que tous les entiers convergent, il faut une méthode déterministe — et personne n'en connaît.

Le grand mathématicien Terence Tao (médaillé Fields 2006) a publié en 2019 un résultat partiel : presque tous les entiers (au sens d'une densité) convergent vers une valeur petite. Mais « presque tous » ≠ « tous ».

La leçon pour toi (BAC SM)

La conjecture de Collatz illustre un principe profond :

La simplicité de l'énoncé ne dit rien de la difficulté de la démonstration. Au bac, méfie-toi des énoncés « évidents » — ils cachent souvent un piège (relire Trouve l'erreur).
L'intuition est souvent juste, mais pas démontrable. Ton intuition que « pour $n$ grand ça marche » ne vaut rien tant que tu n'as pas exhibé un argument formel.
Travailler sur les suites $u_{n + 1} = f (u_{n})$ au bac, c'est l'antichambre du problème Collatz. Les techniques (récurrence, étude de signe, monotonie) y sont les mêmes — à une autre échelle.

Anecdote : la « hailstone sequence »

En anglais, la suite de Collatz s'appelle hailstone sequence (suite de grêlons). Pourquoi ? Parce qu'elle monte et descend, comme un grêlon dans un nuage avant de tomber au sol. Belle métaphore : un problème simple, des comportements chaotiques, puis tout retombe sur $1$ .

Voir aussi : étudier une suite récurrente, méthode de récurrence.