Produit scalaire dans le plan : cours complet 1 Bac (méthode + exemples)

Le produit scalaire est l'un des outils les plus puissants du programme de 1^ère Bac. Il relie l'algèbre et la géométrie : grâce à lui, on calcule des angles, des distances, on démontre des orthogonalités, on écrit l'équation d'une droite ou d'un cercle, et on retrouve les fameuses relations métriques du triangle. Ce produit scalaire cours reprend toutes les définitions, propriétés et méthodes, avec des exemples entièrement résolus.

Si tu veux aller plus loin après cette lecture, retrouve l'ensemble du programme dans nos cours 1ère Bac et entraîne-toi avec nos exercices corrigés.

1. Les deux définitions du produit scalaire

Définition géométrique

Soient deux vecteurs $u$ et $v$ du plan, et $θ$ l'angle qu'ils forment. Le produit scalaire de $u$ par $v$ est le nombre réel :

$u \cdot v = ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos θ$

C'est donc un nombre réel (un scalaire), et non un vecteur. Si l'un des deux vecteurs est nul, on pose $u \cdot v = 0$ .

Expression analytique

Dans un repère orthonormé, si $u (x; y)$ et $v (x^{'}; y^{'})$ , alors :

$u \cdot v = x x^{'} + y y^{'}$

Cette formule est souvent la plus rapide en exercice : il suffit de connaître les coordonnées des vecteurs. Par exemple, pour $u (3; - 1)$ et $v (2; 5)$ , on a $u \cdot v = 3 \times 2 + (- 1) \times 5 = 6 - 5 = 1$ .

Avec un projeté orthogonal

Si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(A B)$ , alors :

$A B \cdot A C = A B \cdot A H = \pm A B \times A H$

Le signe est positif si $A B$ et $A H$ sont de même sens, négatif sinon.

À retenir : les trois expressions du produit scalaire (

cos θ

, coordonnées, projeté) sont équivalentes. On choisit selon les données de l'exercice : un angle → définition géométrique ; des coordonnées → expression analytique ; une figure → projeté orthogonal.

2. Propriétés de calcul

Pour tous vecteurs $u$ , $v$ , $w$ et tout réel $k$ :

Symétrie : $u \cdot v = v \cdot u$
Bilinéarité : $u \cdot (v + w) = u \cdot v + u \cdot w$
Homogénéité : $(k u) \cdot v = k (u \cdot v)$
Carré scalaire : $u \cdot u = ∥ u ∥^{2}$ , noté $u^{2}$

On en déduit des identités très utiles, analogues aux identités remarquables :

$∥ u + v ∥^{2} = ∥ u ∥^{2} + 2 u \cdot v + ∥ v ∥^{2}$

$u \cdot v = \frac{1}{2} (∥ u + v ∥^{2} - ∥ u ∥^{2} - ∥ v ∥^{2})$

3. Orthogonalité

C'est l'application la plus importante. Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si :

$u \cdot v = 0$

En effet, $cos θ = 0$ équivaut à $θ = 9 0^{\circ}$ . En coordonnées, cela donne la condition $x x^{'} + y y^{'} = 0$ .

Exemple : $u (2; 3)$ et $v (- 3; 2)$ sont orthogonaux car $u \cdot v = 2 \times (- 3) + 3 \times 2 = - 6 + 6 = 0$ .

4. Norme, distance et angle

La norme d'un vecteur $u (x; y)$ se calcule à partir du carré scalaire :

$∥ u ∥ = u \cdot u = x^{2} + y^{2}$

La distance entre deux points $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ est donc :

$A B = ∥ A B ∥ = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$

On peut aussi retrouver l'angle entre deux vecteurs :

$cos θ = \frac{u \cdot v}{∥ u ∥ ∥ v ∥}$

5. Équation d'une droite avec un vecteur normal

Un vecteur normal $n (a; b)$ à une droite $(D)$ est un vecteur non nul orthogonal à sa direction. Un point $M (x; y)$ appartient à $(D)$ passant par $A (x_{A}; y_{A})$ si et seulement si $A M \cdot n = 0$ , ce qui donne :

$a (x - x_{A}) + b (y - y_{A}) = 0 ⟺ a x + b y + c = 0$

Réciproquement, la droite d'équation $a x + b y + c = 0$ admet $n (a; b)$ pour vecteur normal. Cela permet aussi la distance d'un point à une droite :

$d (M_{0}, D) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$

6. Équation d'un cercle

Le cercle de centre $Ω (α; β)$ et de rayon $R$ est l'ensemble des points $M$ tels que $Ω M = R$ , soit $Ω M^{2} = R^{2}$ :

$(x - α)^{2} + (y - β)^{2} = R^{2}$

Le produit scalaire fournit aussi la caractérisation par le diamètre : $M$ appartient au cercle de diamètre $[A B]$ si et seulement si :

$M A \cdot M B = 0$

(le triangle $A M B$ est alors rectangle en $M$ ).

7. Relations métriques : la formule d'Al-Kashi

Dans un triangle $A B C$ , en notant $a = B C$ , $b = C A$ , $c = A B$ , la relation d'Al-Kashi (loi des cosinus) généralise le théorème de Pythagore :

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$

Elle se démontre directement avec le produit scalaire : $a^{2} = ∥ B C ∥^{2} = ∥ A C - A B ∥^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 A B \cdot A C$ .

Astuce méthode : dès qu'un exercice parle d'angle, de distance ou d'orthogonalité, pense « produit scalaire ». Choisis l'expression la plus directe (coordonnées si on te donne un repère) et n'oublie pas que

u \cdot v = 0

est le test d'orthogonalité.

8. Trois exemples résolus

Exemple 1 — Calculer un angle

On donne $u (1; 2)$ et $v (3; 1)$ . Calculons l'angle $θ$ entre eux.

$u \cdot v = 1 \times 3 + 2 \times 1 = 5$
$∥ u ∥ = 1^{2} + 2^{2} = 5$ et $∥ v ∥ = 3^{2} + 1^{2} = 10$
$cos θ = \frac{5}{5 \times 10} = \frac{5}{50} = \frac{5}{5 2} = \frac{1}{2}$

Donc $θ = 4 5^{\circ}$ .

Exemple 2 — Équation d'une droite par vecteur normal

Déterminons l'équation de la droite $(D)$ passant par $A (2; - 1)$ et de vecteur normal $n (3; 4)$ .

Pour $M (x; y)$ , on écrit $A M \cdot n = 0$ avec $A M (x - 2; y + 1)$ :

$3 (x - 2) + 4 (y + 1) = 0$
$3 x - 6 + 4 y + 4 = 0$
$3 x + 4 y - 2 = 0$

Vérification : pour $A (2; - 1)$ , $3 \times 2 + 4 \times (- 1) - 2 = 6 - 4 - 2 = 0$ . Le point appartient bien à $(D)$ .

Exemple 3 — Relation d'Al-Kashi

Dans un triangle $A B C$ , on connaît $A B = 5$ , $A C = 8$ et $A = 6 0^{\circ}$ . Calculons $B C$ .

D'après Al-Kashi avec $a = B C$ , $b = A C = 8$ , $c = A B = 5$ :

$B C^{2} = 8^{2} + 5^{2} - 2 \times 8 \times 5 \times cos 6 0^{\circ}$
$B C^{2} = 64 + 25 - 80 \times \frac{1}{2} = 89 - 40 = 49$
$B C = 49 = 7$

Le côté $B C$ mesure donc $7$ .

Conclusion

Le produit scalaire dans le plan est un pont entre calcul et géométrie : trois expressions équivalentes, un test d'orthogonalité ( $u \cdot v = 0$ ), des formules de distance, des équations de droite et de cercle, et la loi des cosinus. Maîtrise les définitions, puis multiplie les applications. Poursuis avec nos exercices corrigés pour ancrer la méthode, et explore les chapitres liés ci-dessous.