Statistiques 1 Bac : moyenne, médiane, variance et écart-type (calcul + exemple)

Les statistiques descriptives sont au cœur du programme de Tronc Commun et de 1^re Bac. Savoir calculer une moyenne, une médiane, une variance et un écart-type, puis les interpréter, est un attendu classique des contrôles. Ce guide complet reprend tout le vocabulaire et propose un exemple entièrement résolu.

1. Le vocabulaire de base

Une série statistique décrit un caractère observé sur une population. Avant tout calcul, fixons le vocabulaire :

Effectif $n_{i}$ : le nombre de fois où la valeur $x_{i}$ apparaît.
Effectif total $N = i \sum n_{i}$ : le nombre total d'individus.
Fréquence $f_{i} = \frac{n _{i}}{N}$ : la proportion d'individus prenant la valeur $x_{i}$ . On a toujours $i \sum f_{i} = 1$ (soit $100%$ ).
Effectifs cumulés croissants : on additionne les effectifs au fur et à mesure. Ils servent à repérer rapidement la médiane et les quartiles.

À retenir. La somme des fréquences vaut toujours

1

. Une erreur fréquente en contrôle est d'oublier de diviser par l'effectif total

N

: pensez-y systématiquement !

2. La moyenne : simple et pondérée

Moyenne simple

Pour une liste de $N$ valeurs $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{N}$ , la moyenne arithmétique est :

$\overset{x}{ˉ} = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{N}}{N} = \frac{1}{N} i = 1 \sum N x_{i}$

Moyenne pondérée

Lorsque chaque valeur $x_{i}$ a un effectif $n_{i}$ (ou un coefficient), on utilise la moyenne pondérée :

$\overset{x}{ˉ} = \frac{i \sum n _{i} x _{i}}{N} = i \sum f_{i} x_{i}$

La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes : une seule note très basse peut la faire chuter. C'est là que la médiane devient utile.

3. Médiane et quartiles

La médiane $M_{e}$ partage la série, ordonnée par valeurs croissantes, en deux groupes de même effectif : au moins $50%$ des données lui sont inférieures ou égales, et au moins $50%$ supérieures ou égales.

Si $N$ est impair, la médiane est la valeur de rang $\frac{N + 1}{2}$ .
Si $N$ est pair, on prend la moyenne des deux valeurs centrales de rangs $\frac{N}{2}$ et $\frac{N}{2} + 1$ .

Les quartiles découpent la série en quatre parts égales : le premier quartile $Q_{1}$ (au moins $25%$ des données en dessous) et le troisième quartile $Q_{3}$ (au moins $75%$ en dessous). L'écart interquartile $Q_{3} - Q_{1}$ mesure la dispersion du « cœur » de la série.

4. Les indicateurs de dispersion

L'étendue

L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur :

$e = x_{m a x} - x_{m i n}$

Simple mais peu robuste, car entièrement déterminée par les deux valeurs extrêmes.

La variance et l'écart-type

La variance $V$ mesure la dispersion moyenne des valeurs autour de la moyenne. Sa définition :

$V = \frac{1}{N} i \sum n_{i} (x_{i} - \overset{x}{ˉ})^{2}$

En pratique, on utilise la formule de König-Huygens, bien plus rapide à calculer :

$V = \frac{1}{N} i \sum n_{i} x_{i}^{2} - \overset{x}{ˉ}^{2}$

Autrement dit : la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne. L'écart-type $σ$ est la racine carrée de la variance :

$σ = V$

Pourquoi l'écart-type ? La variance s'exprime dans une unité « au carré » (des points², des cm²…), ce qui n'a pas de sens concret. L'écart-type

σ

revient à l'unité d'origine et s'interprète directement : plus

σ

est petit, plus les données sont regroupées autour de la moyenne ; plus il est grand, plus elles sont dispersées.

5. Exemple complet résolu

On relève les notes (sur $20$ ) d'une classe de $15$ élèves. La série est résumée dans le tableau suivant. Calculons tous les indicateurs.

Note $x_{i}$	Effectif $n_{i}$	Eff. cumulé croissant	$n_{i} x_{i}$	$n_{i} x_{i}^{2}$
$8$	$2$	$2$	$16$	$128$
$10$	$3$	$5$	$30$	$300$
$11$	$4$	$9$	$44$	$484$
$12$	$3$	$12$	$36$	$432$
$14$	$2$	$14$	$28$	$392$
$16$	$1$	$15$	$16$	$256$
Total	$N = 15$	—	$170$	$1992$

Moyenne

$\overset{x}{ˉ} = \frac{i \sum n _{i} x _{i}}{N} = \frac{170}{15} \approx 11, 33$

Médiane

$N = 15$ est impair : la médiane est la valeur de rang $\frac{15 + 1}{2} = 8$ . D'après les effectifs cumulés croissants, le rang $8$ se situe dans la valeur $11$ (les cumuls passent de $5$ à $9$ ). Donc :

$M_{e} = 11$

La moyenne ( $11, 33$ ) et la médiane ( $11$ ) sont proches : la série est assez symétrique, sans valeur aberrante.

Étendue

$e = x_{m a x} - x_{m i n} = 16 - 8 = 8$

Variance (formule de König)

$V = \frac{1}{N} i \sum n_{i} x_{i}^{2} - \overset{x}{ˉ}^{2} = \frac{1992}{15} - (\frac{170}{15})^{2} = 132, 8 - 128, 44 \approx 4, 36$

Écart-type

$σ = V = 4, 36 \approx 2, 09$

Interprétation. En moyenne, les notes s'écartent d'environ

2, 09

points de la moyenne

11, 33

. La majorité des élèves obtient donc une note comprise approximativement entre

9, 2

13, 4

. Un écart-type modéré (ici

\approx 2

) traduit une classe homogène.

6. Séries groupées en classes

Quand les données sont nombreuses (tailles, salaires, temps…), on les regroupe en classes du type $[a; b [$ . On ne connaît plus les valeurs exactes : on remplace chaque classe par son centre de classe :

$c_{i} = \frac{a + b}{2}$

On applique alors exactement les mêmes formules qu'avant, en utilisant $c_{i}$ à la place de $x_{i}$ . Par exemple, pour la classe $[10; 12 [$ , on prend $c_{i} = 11$ . La moyenne et l'écart-type obtenus sont alors des valeurs approchées, car on suppose les valeurs uniformément réparties dans chaque classe.

7. Bien interpréter ses résultats

Moyenne vs médiane. Si elles diffèrent beaucoup, la série est asymétrique ou contient des valeurs extrêmes. La médiane est alors plus représentative.
Écart-type. Petit $σ$ = données regroupées (population homogène) ; grand $σ$ = données dispersées (population hétérogène).
Comparaison de deux séries. Deux classes peuvent avoir la même moyenne mais des écarts-types très différents : c'est l'écart-type qui révèle laquelle est la plus régulière.

Pour aller plus loin

Maîtriser ces outils est indispensable avant d'aborder les probabilités. Pour t'entraîner, consulte le programme complet dans nos cours de 1^re Bac Sciences Exp et travaille sur des séries variées grâce à nos exercices corrigés. La régularité est la clé : refais chaque calcul à la main avant de vérifier à la calculatrice.