Dérivation — Résumé de cours

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I. Nombre dérivé

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ contenant $a$ . On dit que $f$ est dérivable en $a$ si la limite suivante existe et est finie :

$f^{'} (a) = x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}$

Cette limite s'appelle le nombre dérivé de $f$ en $a$ .

De manière équivalente, en posant $h = x - a$ :

$f^{'} (a) = h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$

Interprétation géométrique

$f^{'} (a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe $C_{f}$ au point d'abscisse $a$ .

Équation de la tangente

$T_{a} : y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$

II. Fonction dérivée

Si $f$ est dérivable en tout point d'un intervalle $I$ , la fonction qui à chaque $x \in I$ associe $f^{'} (x)$ est appelée fonction dérivée de $f$ , notée $f^{'}$ .

III. Tableau des dérivées usuelles

Fonction $f (x)$	Dérivée $f^{'} (x)$	Domaine de dérivabilité
$k$ (constante)	$0$	$R$
$x$	$1$	$R$
$x^{n}$ ( $n \in N^{*}$ )	$n x^{n - 1}$	$R$
$\frac{1}{x}$	$- \frac{1}{x ^{2}}$	$R^{*}$
$x$	$\frac{1}{2 x}$	$] 0, + \infty [$
$sin x$	$cos x$	$R$
$cos x$	$- sin x$	$R$
$tan x$	$1 + tan^{2} x = \frac{1}{cos ^{2} x}$	$R ∖ {π /2 + k π}$

IV. Règles de dérivation

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur $I$ , et $k$ une constante.

$(u + v)^{'} = u^{'} + v^{'}$
$(k u)^{'} = k u^{'}$
$(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$
$(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ (si $v \neq = 0$ )
$(\frac{1}{v})^{'} = - \frac{v ^{'}}{v ^{2}}$
$(u^{n})^{'} = n \cdot u^{n - 1} \cdot u^{'}$ (fonction puissance composée)
$(u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}$ (si $u > 0$ )

V. Lien entre dérivée et sens de variation

Théorème fondamental

Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$ :

Si $f^{'} (x) > 0$ sur $I$ (sauf en un nombre fini de points), alors $f$ est strictement croissante sur $I$ .
Si $f^{'} (x) < 0$ sur $I$ (sauf en un nombre fini de points), alors $f$ est strictement décroissante sur $I$ .
Si $f^{'} (x) = 0$ sur $I$ , alors $f$ est constante sur $I$ .

Tableau de variations

Pour étudier les variations de $f$ :

Déterminer le domaine $D_{f}$ .
Calculer $f^{'} (x)$ .
Étudier le signe de $f^{'} (x)$ .
Dresser le tableau de variations.

VI. Extremums

Condition nécessaire

Si $f$ admet un extremum local en $x_{0}$ (point intérieur du domaine) et si $f$ est dérivable en $x_{0}$ , alors $f^{'} (x_{0}) = 0$ .

Attention : la réciproque est fausse. $f^{'} (x_{0}) = 0$ n'implique pas un extremum (exemple : $f (x) = x^{3}$ en $x = 0$ ).

Critère pratique

$f$ admet un extremum en $x_{0}$ si $f^{'}$ change de signe en $x_{0}$ :

$f^{'}$ passe de positif à négatif → maximum
$f^{'}$ passe de négatif à positif → minimum

VII. Méthode BAC type 2024

Énoncé : Soit $f (x) = x^{3} - 3 x + 2$ .
1) Calculer $f^{'} (x)$ et étudier son signe.
2) Dresser le tableau de variations de $f$ .
3) Déterminer l'équation de la tangente à $C_{f}$ au point d'abscisse $1$ .

Solution :

1) $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x^{2} - 1) = 3 (x - 1) (x + 1)$ .
$f^{'} (x) > 0$ sur $] - \infty, - 1 [\cup] 1, + \infty [$ , $f^{'} (x) < 0$ sur $] - 1, 1 [$ .

2) Tableau :
- $f$ croissante sur $] - \infty, - 1]$
- $f$ décroissante sur $[- 1, 1]$
- $f$ croissante sur $[1, + \infty [$
Maximum local en $- 1$ : $f (- 1) = - 1 + 3 + 2 = 4$ .
Minimum local en $1$ : $f (1) = 1 - 3 + 2 = 0$ .

3) $f (1) = 0$ et $f^{'} (1) = 0$ . Tangente : $y = 0 (x - 1) + 0 = 0$ . C'est l'axe des abscisses.

VIII. Top 6 pièges à éviter

Confondre $(uv)^{'}$ et $u^{'} v^{'}$ . La règle correcte : $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ .
Confondre $(\frac{u}{v})^{'}$ et $\frac{u ^{'}}{v ^{'}}$ . La règle correcte : $\frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ .
Oublier le $u^{'}$ dans la dérivée d'une composée $(u^{n})^{'} = n u^{n - 1} u^{'}$ (et pas seulement $n u^{n - 1}$ ).
Croire que $f^{'} (x_{0}) = 0$ ⇒ extremum. Faux. Il faut un changement de signe de $f^{'}$ .
Oublier le domaine de dérivabilité. Par exemple $x$ n'est pas dérivable en 0.
Confondre stricte monotonie et monotonie. Strict : $f^{'} (x) > 0$ . Large : $f^{'} (x) \geq 0$ .

📈 Figure clé

Tangente à la courbe

🔑 Formules clés à retenir

Nombre dérivé :

$f^{'} (a) = x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}$

Tangente en $a$ : $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$

Dérivées usuelles :

$(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$
$(x)^{'} = \frac{1}{2 x}$
$(sin x)^{'} = cos x$ , $(cos x)^{'} = - sin x$

Règles :

$(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$
$(u / v)^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$
$(u^{n})^{'} = n u^{n - 1} u^{'}$

Variation : signe de $f^{'}$

Extremum : changement de signe de $f^{'}$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 Avant de dériver, simplifie l'expression si possible (mise en facteur, identité remarquable). Ça évite des calculs lourds.
🎯 Pour étudier le signe de $f^{'} (x)$ qui contient une expression compliquée : pose $f^{'} (x) = 0$ et résous, puis fais un tableau de signes.
🎯 N'oublie jamais le $u^{'}$ dans les composées. C'est l'erreur n°1 du chapitre.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Dérivation

Type 1 : Calculer le nombre dérivé par le taux d'accroissement

Quand ? On demande $f^{'} (a)$ par définition (sans formules) ou de montrer que $f$ est dérivable en $a$ .

Écris le taux d'accroissement $\frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}$ (ou $\frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$ ).
Simplifie l'expression (factorisation, conjugué) pour lever la FI $\frac{0}{0}$ .
Calcule $x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}$ : cette limite, si elle existe, vaut $f^{'} (a)$ .

Exemple éclair : Pour $f (x) = x^{2}$ en $a = 3$ : $\frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = x + 3 \to 6$ , donc $f^{'} (3) = 6$ .

Type 2 : Dériver avec les formules usuelles

Quand ? On demande la fonction dérivée $f^{'}$ d'une expression construite à partir de fonctions de référence.

Identifie la structure : somme, produit, quotient, puissance, racine.
Applique les dérivées usuelles : $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ , $(x)^{'} = \frac{1}{2 x}$ , $(sin x)^{'} = cos x$ , $(cos x)^{'} = - sin x$ .
Combine avec les règles : $(u + v)^{'} = u^{'} + v^{'}$ , $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ , $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ .

Exemple éclair : $f (x) = x^{3} - 2 x$ donne $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 2$ .

Type 3 : Dériver une fonction composée

Quand ? L'expression contient une fonction "dans" une autre : $u$ , $u^{n}$ , $sin (u)$ , $\frac{1}{u}$ .

Repère la fonction intérieure $u (x)$ et calcule $u^{'} (x)$ .
Applique la formule composée : $(u^{n})^{'} = n u^{'} u^{n - 1}$ , $(u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}$ , $(sin u)^{'} = u^{'} cos u$ .
Remplace et simplifie.

Exemple éclair : $f (x) = x^{2} + 1$ : $u = x^{2} + 1$ , $u^{'} = 2 x$ , donc $f^{'} (x) = \frac{2 x}{2 x ^{2} + 1} = \frac{x}{x ^{2} + 1}$ .

Type 4 : Équation de la tangente en un point

Quand ? On demande l'équation de la tangente $(T)$ à la courbe au point d'abscisse $a$ .

Calcule $f (a)$ (l'ordonnée du point de contact).
Calcule $f^{'} (a)$ (le coefficient directeur de la tangente).
Écris $(T) : y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$ puis développe.

Exemple éclair : $f (x) = x^{2}$ en $a = 1$ : $f (1) = 1$ , $f^{'} (1) = 2$ , donc $(T) : y = 2 (x - 1) + 1 = 2 x - 1$ .

Type 5 : Étudier le signe de la dérivée et les variations

Quand ? On veut le sens de variation de $f$ ou son tableau de variations.

Calcule $f^{'} (x)$ et détermine son ensemble de définition.
Résous $f^{'} (x) = 0$ puis étudie le signe de $f^{'} (x)$ (tableau de signes).
Conclus : $f^{'} (x) > 0 \Rightarrow f$ croissante ; $f^{'} (x) < 0 \Rightarrow f$ décroissante. Dresse le tableau de variations.

Exemple éclair : $f (x) = x^{2} - 4 x$ , $f^{'} (x) = 2 x - 4$ : $f^{'} (x) < 0$ pour $x < 2$ (décroissante) et $f^{'} (x) > 0$ pour $x > 2$ (croissante).

Type 6 : Déterminer les extremums d'une fonction

Quand ? On cherche un maximum ou un minimum local de $f$ .

Calcule $f^{'} (x)$ et résous $f^{'} (x) = 0$ : les solutions sont les abscisses candidates.
Étudie le signe de $f^{'}$ autour de chaque candidat.
Si $f^{'}$ change de $+$ à $-$ : maximum ; de $-$ à $+$ : minimum. Calcule la valeur $f (a)$ .

Exemple éclair : Pour $f (x) = x^{2} - 4 x$ , $f^{'}$ s'annule en $x = 2$ et passe de $-$ à $+$ : minimum $f (2) = - 4$ .

Type 7 : Dérivabilité et demi-tangentes en un point particulier

Quand ? On étudie la dérivabilité en un point où la fonction change de forme (valeur absolue, racine, fonction définie par morceaux).

Calcule la limite du taux d'accroissement à gauche : $f_{g}^{'} (a) = x \to a^{-} lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}$ .
Calcule la limite à droite : $f_{d}^{'} (a) = x \to a^{+} lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}$ .
Si $f_{g}^{'} (a) = f_{d}^{'} (a)$ : dérivable. Sinon : non dérivable, et il y a deux demi-tangentes (point anguleux).

Exemple éclair : Pour $f (x) = ∣ x ∣$ en $0$ : $f_{g}^{'} (0) = - 1$ et $f_{d}^{'} (0) = 1$ ; comme $- 1 \neq = 1$ , $f$ n'est pas dérivable en $0$ .

Dérivation — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

18 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

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Exercices Faciles

6 exercices

Dérivée d'un polynôme

Facile

Énoncé

Calculer la dérivée de

f (x) = 3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 7

Courbe représentative de

f

Ma réponse

Dérivation

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Définition

Interprétation géométrique

Équation de la tangente

II. Fonction dérivée

III. Tableau des dérivées usuelles

IV. Règles de dérivation

V. Lien entre dérivée et sens de variation

Théorème fondamental

Tableau de variations

VI. Extremums

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VIII. Top 6 pièges à éviter

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🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Méthodes types — Dérivation

Type 1 : Calculer le nombre dérivé par le taux d'accroissement

Type 2 : Dériver avec les formules usuelles

Type 3 : Dériver une fonction composée

Type 4 : Équation de la tangente en un point

Type 5 : Étudier le signe de la dérivée et les variations

Type 6 : Déterminer les extremums d'une fonction

Type 7 : Dérivabilité et demi-tangentes en un point particulier

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Exercices interactifs

Exercices Faciles

Dérivée d'un polynôme

Dérivée d'un produit

Dérivée somme

Dérivée trigonométrique

Nombre dérivé

Dérivée d'un polynôme

Exercices Intermédiaires

Tangente passant par un point donné

Dérivée et étude de signe

Application : équation de tangente

Étude du sens de variation

Tangente à une courbe

Dérivée d'un quotient

Dérivée d'une racine

Équation de tangente

Exercices Difficiles

Application : optimisation

Optimisation : aire maximale

Sens de variation et extremum

Tangente parallèle à une droite

Exercices supplémentaires

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Quiz — Dérivation

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