Suites numériques — Résumé de cours

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Contenu du cours

I. Définition d'une suite numérique

Définition

Une suite numérique est une fonction $u$ définie d'une partie de $N$ vers $R$ . On note $u_{n}$ au lieu de $u (n)$ et on note la suite $(u_{n})_{n \geq 0}$ ou simplement $(u_{n})$ .

$n$ s'appelle l'indice ou le rang
$u_{n}$ est le terme général ou terme de rang $n$

Les 2 modes de définition d'une suite

Formule explicite : on connaît $u_{n}$ en fonction de $n$ . Ex : $u_{n} = 2 n + 1$ .
Relation de récurrence : on connaît $u_{0}$ et une formule $u_{n + 1} = f (u_{n})$ . Ex : $u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = 2 u_{n} + 3$ .

II. Suites arithmétiques

Définition

$(u_{n})$ est arithmétique de raison $r$ si : $\forall n \in N, u_{n + 1} = u_{n} + r$ .

Formules à connaître par cœur

Terme général : $u_{n} = u_{0} + n r$
Forme générale : $u_{n} = u_{p} + (n - p) r$ (à partir d'un rang $p$ )
Somme : $S_{n} = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n} = \frac{( n + 1 ) ( u _{0} + u _{n} )}{2}$

Comment reconnaître une suite arithmétique ?

Calculer $u_{n + 1} - u_{n}$ . Si c'est une constante (indépendante de $n$ ), c'est une suite arithmétique de raison cette constante.

Exemple : $u_{n} = 3 n - 2$ . Alors $u_{n + 1} - u_{n} = (3 (n + 1) - 2) - (3 n - 2) = 3$ . Donc $(u_{n})$ est arithmétique de raison $r = 3$ .

III. Suites géométriques

Définition

$(u_{n})$ est géométrique de raison $q$ (avec $q \neq = 0$ ) si : $\forall n \in N, u_{n + 1} = q \cdot u_{n}$ .

Formules à connaître par cœur

Terme général : $u_{n} = u_{0} \cdot q^{n}$
Forme générale : $u_{n} = u_{p} \cdot q^{n - p}$
Somme (si $q \neq = 1$ ) : $S_{n} = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n} = u_{0} \cdot \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$
Somme (si $q = 1$ ) : $S_{n} = (n + 1) u_{0}$

Comment reconnaître une suite géométrique ?

Calculer $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ (à condition que $u_{n} \neq = 0$ ). Si c'est une constante, c'est une suite géométrique de raison cette constante.

Exemple : $u_{n} = 5 \times 2^{n}$ . Alors $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{5 \times 2 ^{n + 1}}{5 \times 2 ^{n}} = 2$ . Donc $(u_{n})$ est géométrique de raison $q = 2$ .

IV. Sens de variation d'une suite

Définition

$(u_{n})$ est croissante si : $\forall n \in N, u_{n + 1} \geq u_{n}$
$(u_{n})$ est décroissante si : $\forall n \in N, u_{n + 1} \leq u_{n}$
$(u_{n})$ est constante si : $\forall n \in N, u_{n + 1} = u_{n}$

3 méthodes pour étudier le sens de variation

Méthode 1 : étudier le signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ . Si $> 0$ → croissante. Si $< 0$ → décroissante.
Méthode 2 (si tous les $u_{n} > 0$ ) : comparer $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ à 1. Si $> 1$ → croissante. Si $< 1$ → décroissante.
Méthode 3 (si $u_{n} = f (n)$ explicite) : étudier le sens de variation de $f$ sur $[0, + \infty [$ .

V. Suites majorées, minorées, bornées

$(u_{n})$ est majorée par $M$ si : $\forall n \in N, u_{n} \leq M$
$(u_{n})$ est minorée par $m$ si : $\forall n \in N, u_{n} \geq m$
$(u_{n})$ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée

VI. Méthode BAC type 2024

Énoncé classique : Soit $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = 2 u_{n} + 3$ .
1) Calculer $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ .
2) Montrer que la suite $(v_{n})$ définie par $v_{n} = u_{n} + 3$ est géométrique.
3) En déduire l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ .

Solution :

1) $u_{1} = 2 \times 1 + 3 = 5$ , $u_{2} = 2 \times 5 + 3 = 13$ , $u_{3} = 2 \times 13 + 3 = 29$ .

2) $v_{n + 1} = u_{n + 1} + 3 = (2 u_{n} + 3) + 3 = 2 u_{n} + 6 = 2 (u_{n} + 3) = 2 v_{n}$ .
Donc $(v_{n})$ est géométrique de raison $q = 2$ , et $v_{0} = u_{0} + 3 = 4$ .

3) $v_{n} = v_{0} \cdot q^{n} = 4 \cdot 2^{n} = 2^{n + 2}$ . Donc $u_{n} = v_{n} - 3 = 2^{n + 2} - 3$ .

VII. Top 6 pièges à éviter

Confondre suite arithmétique et géométrique. Arithmétique = on AJOUTE $r$ . Géométrique = on MULTIPLIE par $q$ .
Oublier la condition $q \neq = 0$ pour la suite géométrique (sinon ce n'est plus une suite géométrique au sens strict).
Mal compter le nombre de termes dans la somme. $u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n}$ contient $n + 1$ termes (pas $n$ ).
Oublier de vérifier le premier terme dans une démonstration par récurrence.
Appliquer la formule $S_{n} = u_{0} \cdot \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ avec $q = 1$ . Diviser par 0 ! Utiliser le cas particulier $S_{n} = (n + 1) u_{0}$ .
Confondre $u_{n + 1}$ et $u_{n} + 1$ . Le premier est "le terme suivant", le second est "le terme actuel plus 1".

📈 Figure clé

Suite arithmétique

🔑 Formules clés à retenir

Suite arithmétique (raison $r$ , on AJOUTE) :

$u_{n + 1} = u_{n} + r$
$u_{n} = u_{0} + n r$
$S_{n} = \frac{( n + 1 ) ( u _{0} + u _{n} )}{2}$

Suite géométrique (raison $q$ , on MULTIPLIE) :

$u_{n + 1} = q \cdot u_{n}$
$u_{n} = u_{0} \cdot q^{n}$
$S_{n} = u_{0} \cdot \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ (si $q \neq = 1$ )

Sens de variation :

Signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ → croissante / décroissante
Si $u_{n} > 0$ , comparer $u_{n + 1} / u_{n}$ à 1

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 Reconnaissance rapide : calcule $u_{1} - u_{0}$ et $u_{2} - u_{1}$ . Si égaux → arithmétique. Sinon, essaie $u_{1} / u_{0}$ et $u_{2} / u_{1}$ . Si égaux → géométrique.
🎯 Suite auxiliaire $v_{n}$ géométrique : technique classique du BAC. Quand $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ , pose $v_{n} = u_{n} - ℓ$ où $ℓ$ est le point fixe ( $ℓ = a ℓ + b$ ).
🎯 Mémorise la formule somme géométrique : "1 moins q à la (n+1)" sur "1 moins q". Le piège est l'exposant $n + 1$ .

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Suites numériques

Type 1 : Calculer les premiers termes / générer la suite

Quand ? On donne une formule explicite $u_{n} = f (n)$ ou une récurrence $u_{n + 1} = f (u_{n})$ et on demande des termes.

Si formule explicite : remplace $n$ par les valeurs voulues directement dans $u_{n}$ .
Si récurrence : pars de $u_{0}$ (ou $u_{1}$ ) donné et calcule de proche en proche $u_{1}$ , $u_{2}$ , etc.
Sois rigoureux sur le premier indice (le rang de départ).
Présente les résultats numériques simplifiés.

Exemple éclair : $u_{0} = 2$ et $u_{n + 1} = 3 u_{n} - 1$ donnent $u_{1} = 5$ , $u_{2} = 14$ , $u_{3} = 41$ .

Type 2 : Reconnaître une suite arithmétique ou géométrique

Quand ? On veut montrer qu'une suite est arithmétique (raison $r$ ) ou géométrique (raison $q$ ).

Pour l'arithmétique : calcule $u_{n + 1} - u_{n}$ et montre que c'est une constante $r$ .
Pour la géométrique : calcule $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ (termes non nuls) et montre que c'est une constante $q$ .
Conclus en précisant la raison et le premier terme.
Attention : une différence ou un quotient dépendant de $n$ signifie que la suite n'est ni l'une ni l'autre.

Exemple éclair : $u_{n} = 5 \cdot 2^{n}$ : $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = 2$ , suite géométrique de raison $2$ et premier terme $5$ .

Type 3 : Exprimer le terme général

Quand ? On demande $u_{n}$ en fonction de $n$ pour une suite arithmétique ou géométrique.

Identifie le premier terme et la raison.
Arithmétique : $u_{n} = u_{0} + n r$ (ou $u_{n} = u_{p} + (n - p) r$ ).
Géométrique : $u_{n} = u_{0} \cdot q^{n}$ (ou $u_{n} = u_{p} \cdot q^{n - p}$ ).
Vérifie ta formule en recalculant un terme connu.

Exemple éclair : Suite arithmétique $u_{0} = 3$ , $r = 2$ : $u_{n} = 3 + 2 n$ , donc $u_{10} = 23$ .

Type 4 : Calculer une somme de termes consécutifs

Quand ? On demande $S = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n}$ pour une suite arithmétique ou géométrique.

Compte le nombre de termes $N$ de la somme.
Arithmétique : $S = N \times \frac{( premier terme ) + ( dernier terme )}{2}$ .
Géométrique (raison $q \neq = 1$ ) : $S = (premier terme) \times \frac{1 - q ^{N}}{1 - q}$ .
Remplace et simplifie.

Exemple éclair : $1 + 2 + \dots + 100 = 100 \times \frac{1 + 100}{2} = 5050$ .

Type 5 : Étudier la monotonie d'une suite

Quand ? On demande si la suite est croissante, décroissante ou constante.

Méthode de la différence : étudie le signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ .
Si tous les termes sont strictement positifs, tu peux comparer $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ à $1$ .
Si $u_{n} = f (n)$ , tu peux aussi étudier le sens de variation de $f$ sur $[0; + \infty [$ .
Conclus : $u_{n + 1} - u_{n} > 0$ pour tout $n$ signifie croissante.

Exemple éclair : $u_{n} = n^{2}$ : $u_{n + 1} - u_{n} = 2 n + 1 > 0$ , suite strictement croissante.

Type 6 : Démontrer une propriété par récurrence

Quand ? On demande de prouver qu'une propriété $P (n)$ est vraie pour tout $n$ (encadrement, formule, divisibilité).

Initialisation : vérifie que $P (n_{0})$ est vraie au premier rang $n_{0}$ .
Hérédité : suppose $P (n)$ vraie pour un $n$ quelconque (hypothèse de récurrence).
Démontre alors que $P (n + 1)$ est vraie en utilisant l'hypothèse.
Conclusion : par récurrence, $P (n)$ est vraie pour tout $n \geq n_{0}$ .

Exemple éclair : Pour montrer $u_{n} > 0$ : si $u_{0} > 0$ et $u_{n + 1} = u_{n} + 1 > 0$ dès que $u_{n} > 0$ , alors $u_{n} > 0$ pour tout $n$ .

Type 7 : Étudier une suite auxiliaire $v_{n}$ pour ramener à une suite connue

Quand ? Une suite récurrente du type $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ ; on pose $v_{n} = u_{n} - ℓ$ pour la rendre géométrique.

Cherche le point fixe $ℓ$ solution de $ℓ = a ℓ + b$ .
Pose $v_{n} = u_{n} - ℓ$ et montre que $v_{n + 1} = a v_{n}$ : $(v_{n})$ est géométrique de raison $a$ .
Exprime $v_{n} = v_{0} \cdot a^{n}$ , puis reviens à $u_{n} = v_{n} + ℓ$ .
Tu obtiens ainsi la formule explicite de $u_{n}$ .

Exemple éclair : $u_{n + 1} = 2 u_{n} - 3$ a pour point fixe $ℓ = 3$ ; $v_{n} = u_{n} - 3$ vérifie $v_{n + 1} = 2 v_{n}$ , d'où $u_{n} = v_{0} \cdot 2^{n} + 3$ .

Suites numériques — Fiche d'exercices

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Exercices Faciles

7 exercices

Suite arithmétique

Facile

Énoncé

Soit

(u_{n})

une suite arithmétique de premier terme

u_{0} = 5

et de raison

r = 3

. Calculer

u_{10}

et la somme

S = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{10}

Ma réponse

Suites numériques

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I. Définition d'une suite numérique

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Les 2 modes de définition d'une suite

II. Suites arithmétiques

Définition

Formules à connaître par cœur

Comment reconnaître une suite arithmétique ?

III. Suites géométriques

Définition

Formules à connaître par cœur

Comment reconnaître une suite géométrique ?

IV. Sens de variation d'une suite

Définition

3 méthodes pour étudier le sens de variation

V. Suites majorées, minorées, bornées

VI. Méthode BAC type 2024

VII. Top 6 pièges à éviter

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🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Méthodes types — Suites numériques

Type 1 : Calculer les premiers termes / générer la suite

Type 2 : Reconnaître une suite arithmétique ou géométrique

Type 3 : Exprimer le terme général

Type 4 : Calculer une somme de termes consécutifs

Type 5 : Étudier la monotonie d'une suite

Type 6 : Démontrer une propriété par récurrence

Type 7 : Étudier une suite auxiliaire vn​ pour ramener à une suite connue

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Exercices interactifs

Exercices Faciles

Suite arithmétique

Suite géométrique : terme général

Reconnaître arithmétique/géométrique

Calcul de termes

Recherche de la raison

Somme géométrique

Somme d'une suite arithmétique

Exercices Intermédiaires

Démontrer qu'une suite est arithmétique

Comparaison croissance arith vs géo

Sens de variation

Application : épargne mensuelle

Suite géométrique

Variation d'une suite

Problème concret (épargne)

Exercices Difficiles

Application : intérêts composés vs simples

Suite récurrente : encadrement

Suite auxiliaire géométrique

Suite arithmético-géométrique

Exercices supplémentaires

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Type 7 : Étudier une suite auxiliaire $v_{n}$ pour ramener à une suite connue