Trigonométrie 2 — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. Rappels essentiels

Valeurs remarquables (à connaître par cœur)

$x$	$0$	$π /6$	$π /4$	$π /3$	$π /2$
$sin x$	$0$	$1/2$	$2 /2$	$3 /2$	$1$
$cos x$	$1$	$3 /2$	$2 /2$	$1/2$	$0$
$tan x$	$0$	$3 /3$	$1$	$3$	—

Relations fondamentales

$cos^{2} x + sin^{2} x = 1$
$tan x = \frac{sin x}{cos x}$ (si $cos x \neq = 0$ )
$1 + tan^{2} x = \frac{1}{cos ^{2} x}$

II. Formules d'addition

$cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b$
$cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b$
$sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b$
$sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b$

III. Formules de duplication

$cos (2 a) = cos^{2} a - sin^{2} a = 2 cos^{2} a - 1 = 1 - 2 sin^{2} a$
$sin (2 a) = 2 sin a cos a$
$tan (2 a) = \frac{2 tan a}{1 - tan ^{2} a}$

IV. Équations trigonométriques fondamentales

Équation $cos x = a$

Si $∣ a ∣ > 1$ : pas de solution.

Si $∣ a ∣ \leq 1$ : il existe $α$ tel que $cos α = a$ . Solutions :

$x = α + 2 k π ou x = - α + 2 k π, k \in Z$

Équation $sin x = a$

Si $∣ a ∣ \leq 1$ : il existe $α$ tel que $sin α = a$ . Solutions :

$x = α + 2 k π ou x = π - α + 2 k π, k \in Z$

Équation $tan x = a$

Solutions : $x = α + k π$ , $k \in Z$ (où $α$ vérifie $tan α = a$ ).

V. Inéquations trigonométriques

Méthode : utiliser le cercle trigonométrique pour visualiser les arcs solutions.

Exemple : Résoudre $cos x \geq 1/2$ sur $[0, 2 π]$ .
$cos x = 1/2 \Leftrightarrow x = π /3$ ou $x = - π /3 + 2 π = 5 π /3$ .
Sur le cercle, $cos x \geq 1/2$ correspond à l'arc à droite de l'axe vertical à hauteur $1/2$ .
Solutions sur $[0, 2 π]$ : $x \in [0, π /3] \cup [5 π /3, 2 π]$ .

VI. Méthode BAC type 2024

Énoncé : Résoudre dans $R$ l'équation $2 cos^{2} x - 3 cos x + 1 = 0$ .

Solution : Posons $X = cos x$ . L'équation devient $2 X^{2} - 3 X + 1 = 0$ .
$Δ = 9 - 8 = 1$ . $X = \frac{3 \pm 1}{4}$ , donc $X = 1$ ou $X = 1/2$ .

Cas $cos x = 1$ : $x = 2 k π$ , $k \in Z$ .

Cas $cos x = 1/2$ : $x = π /3 + 2 k π$ ou $x = - π /3 + 2 k π$ .

VII. Top 4 pièges à éviter

Oublier le "+2k $π$ " dans les équations $cos x = a$ ou $sin x = a$ .
Confondre $sin (2 a)$ et $2 sin a$ .
Oublier la condition $∣ a ∣ \leq 1$ avant de résoudre $cos x = a$ .
Diviser par $cos x$ sans vérifier qu'il n'est pas nul (perte de solutions).

📈 Figure clé

Cercle trigonométrique

🔑 Formules clés à retenir

Identités fondamentales :

$cos^{2} x + sin^{2} x = 1$
$tan x = sin x / cos x$

Addition :

$cos (a \pm b) = cos a cos b \mp sin a sin b$
$sin (a \pm b) = sin a cos b \pm cos a sin b$

Duplication :

$cos 2 a = 2 cos^{2} a - 1 = 1 - 2 sin^{2} a$
$sin 2 a = 2 sin a cos a$

Équations :

$cos x = a$ : $x = \pm α + 2 k π$
$sin x = a$ : $x = α + 2 k π$ ou $π - α + 2 k π$
$tan x = a$ : $x = α + k π$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 Apprends les valeurs remarquables sin/cos/tan pour $0, π /6, π /4, π /3, π /2$ par cœur. Indispensable.
🎯 Pour les équations du type $a cos^{2} x + b cos x + c = 0$ : poser $X = cos x$ et résoudre l'équation du 2nd degré en $X$ .
🎯 Cercle trigo : ton meilleur ami pour visualiser les inéquations et compter les solutions sur un intervalle.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Trigonométrie 2

Type 1 : Développer avec les formules d'addition

Quand ? On demande de calculer $cos (\frac{7 π}{12})$ ou de transformer $cos (a + b)$ , $sin (a - b)$ .

Décompose l'angle en somme/différence d'angles remarquables (ex. $\frac{7 π}{12} = \frac{π}{3} + \frac{π}{4}$ ).
Applique la formule adaptée : $cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b$ , $sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b$ .
Remplace par les valeurs exactes connues des angles remarquables.
Simplifie et mets sous une seule fraction.

Exemple éclair : $cos (\frac{7 π}{12}) = cos \frac{π}{3} cos \frac{π}{4} - sin \frac{π}{3} sin \frac{π}{4} = \frac{2 - 6}{4}$ .

Type 2 : Utiliser les formules de duplication

Quand ? Apparaît $cos 2 x$ , $sin 2 x$ , ou il faut linéariser $cos^{2} x$ , $sin^{2} x$ .

Repère la forme : $sin 2 x = 2 sin x cos x$ et $cos 2 x = 2 cos^{2} x - 1 = 1 - 2 sin^{2} x$ .
Pour abaisser un carré, utilise $cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}$ et $sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}$ .
Substitue puis simplifie.
Vérifie la cohérence avec l'identité $cos^{2} x + sin^{2} x = 1$ .

Exemple éclair : $2 cos^{2} x - 1 = cos 2 x$ , donc $2 cos^{2} \frac{π}{8} - 1 = cos \frac{π}{4} = \frac{2}{2}$ .

Type 3 : Résoudre $cos x = cos a$ (et $sin$ , $tan$ )

Quand ? Équation ramenée à une égalité de cosinus, sinus ou tangente.

Mets l'équation sous la forme canonique $cos x = cos a$ .
Écris les solutions : $x = a + 2 k π$ ou $x = - a + 2 k π$ , avec $k \in Z$ .
Pour $sin x = sin a$ : $x = a + 2 k π$ ou $x = π - a + 2 k π$ ; pour $tan x = tan a$ : $x = a + k π$ .
Si un intervalle est imposé, sélectionne les valeurs de $k$ qui y placent $x$ .

Exemple éclair : $cos x = \frac{1}{2} = cos \frac{π}{3}$ donne $x = \frac{π}{3} + 2 k π$ ou $x = - \frac{π}{3} + 2 k π$ .

Type 4 : Résoudre une équation polynomiale en $cos x$ ou $sin x$

Quand ? L'équation contient $cos^{2} x$ , $cos x$ , ou mélange $sin$ et $cos$ .

Ramène tout à une seule fonction via $sin^{2} x = 1 - cos^{2} x$ .
Pose $X = cos x$ (ou $X = sin x$ ) pour obtenir une équation du second degré en $X$ .
Résous en $X$ et garde uniquement les valeurs telles que $- 1 \leq X \leq 1$ .
Reviens à $x$ avec la méthode du Type 3.

Exemple éclair : $2 cos^{2} x - cos x - 1 = 0$ avec $X = cos x$ donne $X = 1$ ou $X = - \frac{1}{2}$ , puis on résout $cos x = 1$ et $cos x = - \frac{1}{2}$ .

Type 5 : Résoudre une inéquation trigonométrique

Quand ? On demande les $x$ d'un intervalle vérifiant $cos x \geq m$ ou $sin x < m$ .

Résous d'abord l'équation associée $cos x = m$ pour trouver les bornes.
Place ces angles sur le cercle trigonométrique et repère l'arc qui satisfait l'inégalité.
Lis l'intervalle de solutions sur l'intervalle imposé (souvent $[0; 2 π [$ ou $] - π; π]$ ).
Donne la réponse en intervalles, réunis par $\cup$ si nécessaire.

Exemple éclair : Sur $[0; 2 π [$ , $cos x \geq \frac{1}{2}$ a pour solution $[0; \frac{π}{3}] \cup [\frac{5 π}{3}; 2 π [$ .

Type 6 : Transformer $a cos x + b sin x$

Quand ? On veut écrire $a cos x + b sin x$ sous la forme $R cos (x - φ)$ (étude ou résolution).

Calcule l'amplitude $R = a^{2} + b^{2}$ .
Factorise : $a cos x + b sin x = R (\frac{a}{R} cos x + \frac{b}{R} sin x)$ .
Détermine $φ$ tel que $cos φ = \frac{a}{R}$ et $sin φ = \frac{b}{R}$ .
Conclus $a cos x + b sin x = R cos (x - φ)$ , ce qui ramène à une équation du Type 3.

Exemple éclair : $cos x + 3 sin x = 2 cos (x - \frac{π}{3})$ car $R = 2$ et $φ = \frac{π}{3}$ .

Trigonométrie 2 — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

18 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 18 corrigés

Exercices Faciles

6 exercices

Équation $\cos x = \dfrac{1}{2}$

Facile

Énoncé

Résoudre dans

R

l'équation

cos x = \frac{1}{2}

Ma réponse

Trigonométrie 2

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I. Rappels essentiels

Valeurs remarquables (à connaître par cœur)

Relations fondamentales

II. Formules d'addition

III. Formules de duplication

IV. Équations trigonométriques fondamentales

Équation cosx=a

Équation sinx=a

Équation tanx=a

V. Inéquations trigonométriques

VI. Méthode BAC type 2024

VII. Top 4 pièges à éviter

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Méthodes types — Trigonométrie 2

Type 1 : Développer avec les formules d'addition

Type 2 : Utiliser les formules de duplication

Type 3 : Résoudre cosx=cosa (et sin, tan)

Type 4 : Résoudre une équation polynomiale en cosx ou sinx

Type 5 : Résoudre une inéquation trigonométrique

Type 6 : Transformer acosx+bsinx

Trigonométrie 2 — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Équation $\cos x = \dfrac{1}{2}$

Formule d'addition

Équation cos = a

Équation sin = a

Équation $\tan(x) = a$

Valeurs remarquables

Exercices Intermédiaires

Équation $a\cos x + b\sin x = c$

Identité fondamentale

Équation produit

Identité utilisant duplication

Équation du 2nd degré en cos

Équation $\cos(2x) = ...$

Équation factorisée

Exercices Difficiles

Système trigonométrique

Système trigonométrique

Formule d'addition

Linéarisation

Inéquation trigo

Exercices supplémentaires

—

Quiz — Trigonométrie 2

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