Nombres complexes — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

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Contenu du cours

Chapitre 8 : Nombres complexes

I. Définition et forme algébrique

On pose $i^{2} = - 1$ . Un nombre complexe s'écrit $z = a + bi$ avec

a, b \in R

.
$Re (z) = a$ (partie réelle), $Im (z) = b$ (partie imaginaire).
Conjugué :

z

a - bi

. Module :

∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}

II. Opérations

Addition :

(a + bi) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i

Multiplication :

(a + bi) (c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i

Division :

z / w = \frac{z \cdot w}{∣ w ∣ ^{2}}

Propriétés :

∣ z \cdot w ∣ = ∣ z ∣∣ w ∣

∣ z / w ∣ = ∣ z ∣/∣ w ∣

z \cdot \overline{z} = ∣ z ∣^{2}

III. Forme trigonométrique (polaire)

z = r (cos θ + i sin θ)

avec

r = ∣ z ∣

θ = ar g (z)

(argument).
Formule de Moivre :

[r (cos θ + i sin θ)]^{n} = r^{n} (cos n θ + i sin n θ)

Multiplication :

∣ z_{1} z_{2} ∣ = ∣ z_{1} ∣∣ z_{2} ∣

ar g (z_{1} z_{2}) = ar g (z_{1}) + ar g (z_{2})

IV. Représentation géométrique (plan de Gauss)

Le plan complexe : tout point

M (a, b)

a pour affixe

z = a + bi

∣ z ∣ =

distance à l'origine,

∣ z_{1} - z_{2} ∣ =

distance entre les points d'affixes

z_{1}

z_{2}

.
Milieu de

[A B]

: affixe

= \frac{z _{A} + z _{B}}{2}

V. Forme exponentielle — notation d'Euler

Notation :

e^{i θ} = cos θ + i sin θ

(formule d'Euler)
Forme exponentielle :

z = r \cdot e^{i θ}

où

r = ∣ z ∣

θ = ar g (z)

Propriétés :

e^{i α} \cdot e^{i β} = e^{i (α + β)}

;

(e^{i θ})^{n} = e^{in θ}

Cas particuliers :

e^{iπ} = - 1

e^{i \cdot 2 π} = 1

e^{iπ /2} = i

VI. Racines n-ièmes de l'unité

Les solutions de $z^{n} = 1$ sont les

n

racines : $z_{k} = e^{2 ik π / n}$ ,

k = 0, 1, \dots, n - 1

Elles forment un polygone régulier à

n

côtés inscrit dans le cercle unité.
Racines carrées de $- 1$ :

z = \pm i

; racines cubiques de 1 :

1

j = e^{2 iπ /3}

j

= e^{- 2 iπ /3}

avec

1 + j + \overline{j} = 0

VII. Transformations géométriques par les complexes

Translation de vecteur affixe

t

f (z) = z + t

Rotation de centre

Ω

(affixe

a

) et angle

θ

f (z) = e^{i θ} (z - a) + a

Homothétie de centre

a

et rapport

k

(réel) :

f (z) = k (z - a) + a

Méthode : Pour trouver le centre d'une rotation

f (z) = e^{i θ} \cdot z + b

, résoudre

f (Ω) = Ω

📈 Figure clé

Image de

z = a + ib

a = Re (z)

b = Im (z)

🔑 Formules clés à retenir

$i^{2} = - 1$ , $z = a + bi$ , $∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$
z $= a - bi$ , $z \cdot$ z $= ∣ z ∣^{2}$
Forme trig : $z = r (cos θ + i sin θ)$
Forme exp : $z = r \cdot e^{i θ}$ , $e^{i θ} = cos θ + i sin θ$
Moivre : $z^{n} = r^{n} \cdot e^{in θ}$
Racines de $z^{n} = 1$ : $z_{k} = e^{2 ik π / n}$
Rotation centre a, angle $θ$ : $f (z) = e^{i θ} (z - a) + a$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Division en forme algébrique : pour calculer $z_{1} / z_{2}$ , multiplier numérateur ET dénominateur par $\overline{z}_{2}$ . Ne jamais "simplifier" directement partie réelle par partie réelle !

❌

Argument de $\overline{z}$ : $ar g (\overline{z}) = - ar g (z)$ (symétrie par rapport à l'axe réel). Ne pas confondre avec $ar g (- z) = ar g (z) + π$ .

❌

Moivre : $(cos θ + i sin θ)^{n} = cos (n θ) + i sin (n θ)$ : s'applique à $e^{i θ}$ mis à la puissance $n$ . Attention si $z$ n'est pas sur le cercle unité : il faut diviser par $∣ z ∣^{n}$ d'abord.

🟢 Astuces de pros

✅

Passer en forme exponentielle pour les puissances : $z = r \cdot e^{i θ}$ → $z^{n} = r^{n} \cdot e^{in θ}$ . Beaucoup plus simple que de développer en forme algébrique !

✅

Trouver le centre d'une rotation : $f (z) = e^{i θ} \cdot z + b$ → centre $ω$ tel que $f (ω) = ω$ → $ω \cdot (1 - e^{i θ}) = b$ → $ω = \frac{b}{1 - e ^{i θ}}$ .

💡

Formules d'Euler pour la trigonométrie : $cos n θ = Re (e^{in θ})$ et $sin n θ = Im (e^{in θ})$ . Développer par Moivre permet de retrouver $cos (2 θ)$ , $cos (3 θ)$ , etc.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Nombres complexes

Type 1 : Mettre un complexe sous forme algébrique

Quand ? On te donne une expression à simplifier (produit, quotient, puissance) et on veut le résultat sous la forme $a + bi$ .

Développe en utilisant $i^{2} = - 1$ chaque fois qu'un carré apparaît.
Pour un quotient, multiplie haut et bas par le conjugué du dénominateur pour le rendre réel.
Regroupe la partie réelle d'un côté et la partie imaginaire de l'autre.
Identifie alors $a = Re (z)$ et $b = Im (z)$ .

Exemple éclair : $\frac{1}{1 + i} = \frac{1 - i}{( 1 + i ) ( 1 - i )} = \frac{1 - i}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$ .

Type 2 : Calculer un conjugué et exploiter ses propriétés

Quand ? On manipule $\overline{z}$ , ou on doit prouver qu'un nombre est réel ou imaginaire pur.

Pour $z = a + bi$ , écris directement $\overline{z} = a - bi$ .
Pour prouver que $z$ est réel, montre que $z = \overline{z}$ (équivaut à $Im (z) = 0$ ).
Pour prouver que $z$ est imaginaire pur, montre que $z = - \overline{z}$ (équivaut à $Re (z) = 0$ ).
Utilise les règles : $\overline{z + z^{'}} = \overline{z} + \overline{z^{'}}$ et $\overline{z z^{'}} = \overline{z} \overline{z^{'}}$ .

Exemple éclair : $z = 3 - 2 i$ a pour conjugué $\overline{z} = 3 + 2 i$ , et $z + \overline{z} = 6$ est réel.

Type 3 : Calculer un module

Quand ? On demande $∣ z ∣$ , une distance entre points d'affixes, ou on doit comparer des modules.

Pour $z = a + bi$ , applique $∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$ .
Pour un quotient, utilise $\frac{z}{z ^{'}} = \frac{∣ z ∣}{∣ z ^{'} ∣}$ plutôt que de tout développer.
Pour un produit, utilise $∣ z z^{'} ∣ = ∣ z ∣ \times ∣ z^{'} ∣$ .
Rappelle que $z \overline{z} = ∣ z ∣^{2}$ , utile pour simplifier.

Exemple éclair : $z = 3 + 4 i$ donne $∣ z ∣ = 9 + 16 = 5$ .

Type 4 : Résoudre une équation du second degré dans $C$

Quand ? On résout $a z^{2} + b z + c = 0$ à coefficients réels, avec discriminant souvent négatif.

Calcule le discriminant $Δ = b^{2} - 4 a c$ .
Si $Δ > 0$ ou $Δ = 0$ , applique les formules réelles habituelles.
Si $Δ < 0$ , écris $Δ = - ∣Δ∣$ puis les racines complexes conjuguées $z = \frac{- b \pm i ∣Δ∣}{2 a}$ .
Présente les deux solutions et vérifie qu'elles sont conjuguées.

Exemple éclair : $z^{2} + z + 1 = 0$ : $Δ = - 3$ , donc $z = \frac{- 1 \pm i 3}{2}$ .

Type 5 : Calculer les puissances de $i$ et les puissances d'un complexe

Quand ? On rencontre $i^{n}$ avec $n$ grand, ou une puissance comme $z^{3}$ à développer.

Pour $i^{n}$ , divise $n$ par $4$ et garde le reste : $i^{0} = 1$ , $i^{1} = i$ , $i^{2} = - 1$ , $i^{3} = - i$ .
Remplace $i^{n}$ par la valeur correspondant au reste.
Pour une puissance d'un complexe, développe avec les identités remarquables en remplaçant $i^{2}$ par $- 1$ .
Réduis à la forme algébrique finale.

Exemple éclair : $i^{2026}$ : $2026 = 4 \times 506 + 2$ , donc $i^{2026} = i^{2} = - 1$ .

Type 6 : Interpréter géométriquement (affixe, distance, alignement)

Quand ? On passe d'un point à son affixe, on calcule une distance, ou on étudie une configuration de points du plan complexe.

Associe à chaque point $A$ son affixe $z_{A}$ , et à un vecteur $A B$ l'affixe $z_{B} - z_{A}$ .
Calcule une distance par $A B = ∣ z_{B} - z_{A} ∣$ .
Trouve le milieu de $[A B]$ par l'affixe $\frac{z _{A} + z _{B}}{2}$ .
Teste un parallélogramme $A B C D$ par l'égalité des affixes $z_{B} - z_{A} = z_{C} - z_{D}$ .

Exemple éclair : $A$ d'affixe $1 + i$ et $B$ d'affixe $4 + 5 i$ : $A B = ∣3 + 4 i ∣ = 5$ .

Type 7 : Déterminer un ensemble de points défini par une condition sur $z$

Quand ? On cherche l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant $∣ z - z_{A} ∣ = r$ , $∣ z - z_{A} ∣ = ∣ z - z_{B} ∣$ , etc.

Pose $z = x + i y$ et traduis la condition en relation sur $x$ et $y$ .
Reconnais les formes classiques : $∣ z - z_{A} ∣ = r$ est le cercle de centre $A$ et rayon $r$ .
$∣ z - z_{A} ∣ = ∣ z - z_{B} ∣$ est la médiatrice du segment $[A B]$ .
Si besoin, développe les modules au carré pour obtenir l'équation cartésienne et conclure sur la nature.

Exemple éclair : $∣ z - 2∣ = 3$ est le cercle de centre le point d'affixe $2$ et de rayon $3$ .

Nombres complexes — Fiche d'exercices

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55 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

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21 exercices

Opérations en forme algébrique

Facile

Énoncé

z₁=3+2i, z₂=1−4i. Calculer : 1) z₁+z₂ 2) z₁ $\times$ z₂ 3) |z₁| et |z₂|

Ma réponse

Nombres complexes

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Chapitre 8 : Nombres complexes

I. Définition et forme algébrique

II. Opérations

III. Forme trigonométrique (polaire)

IV. Représentation géométrique (plan de Gauss)

V. Forme exponentielle — notation d'Euler

VI. Racines n-ièmes de l'unité

VII. Transformations géométriques par les complexes

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 Pièges classiques

🟢 Astuces de pros

Méthodes types

Méthodes types — Nombres complexes

Type 1 : Mettre un complexe sous forme algébrique

Type 2 : Calculer un conjugué et exploiter ses propriétés

Type 3 : Calculer un module

Type 4 : Résoudre une équation du second degré dans C

Type 5 : Calculer les puissances de i et les puissances d'un complexe

Type 6 : Interpréter géométriquement (affixe, distance, alignement)

Type 7 : Déterminer un ensemble de points défini par une condition sur z

Nombres complexes — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Opérations en forme algébrique

Conjugué et division

Équation dans ℂ

Forme exponentielle — Euler

Module et argument — forme trigonométrique

Addition de nombres complexes

Addition de nombres complexes

Conjugué d'un nombre complexe

Addition de nombres complexes

Module d'un nombre complexe

Module d'un nombre complexe

Conjugué d'un nombre complexe

Multiplication de nombres complexes

Addition de nombres complexes

Conjugué d'un nombre complexe

Module d'un nombre complexe

Multiplication de nombres complexes

Module d'un nombre complexe

Conjugué d'un nombre complexe

Multiplication de nombres complexes

Multiplication de nombres complexes

Exercices Intermédiaires

Module et argument

Formule de Moivre

Interprétation géométrique

Racines cubiques de l'unité

Interprétation géométrique — alignement et milieu

Division de nombres complexes

Argument d'un nombre complexe

Équation avec nombres complexes

Forme trigonométrique d'un nombre complexe

Division de nombres complexes

Forme trigonométrique d'un nombre complexe

Division de nombres complexes

Argument d'un nombre complexe

Forme exponentielle d'un nombre complexe

Argument d'un nombre complexe

Forme trigonométrique d'un nombre complexe

Exercices Difficiles

Racines carrées d'un complexe

Équation du 3ème degré — racine complexe

Transformation géométrique complexe

Racines n-ièmes de l'unité — racines cubiques

Multiplication en forme exponentielle

Démonstration de la formule de Moivre

Représentation géométrique

Démonstration d'une propriété

Forme exponentielle d'un nombre complexe

Multiplication et argument

Distance entre deux nombres complexes

Distance entre deux nombres complexes

Type 4 : Résoudre une équation du second degré dans $C$

Type 5 : Calculer les puissances de $i$ et les puissances d'un complexe

Type 7 : Déterminer un ensemble de points défini par une condition sur $z$