Probabilités — Résumé de cours

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Contenu du cours

Chapitre 7 : Probabilités

I. Vocabulaire

Expérience aléatoire : résultat imprévisible. Univers Ω : ensemble des issues.
Événement A ⊂ Ω. P(A) : probabilité de A, avec

0 \leq P (A) \leq 1

P (Ω) = 1

P (\emptyset) = 0

. $P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)$ .

II. Opérations sur les événements

Union :

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)

Incompatibles $(A \cap B = \emptyset)$ :

P (A \cup B) = P (A) + P (B)

Indépendants :

P (A \cap B) = P (A) \times P (B)

III. Probabilité conditionnelle

$P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$ (probabilité de A sachant B)
Formule des probabilités totales :
Si

(B_{i})

est une partition de Ω :

P (A) = \sum P (A ∣ B_{i}) \times P (B_{i})

IV. Variables aléatoires et loi binomiale

Variable aléatoire X : Espérance $E (X) = \sum x_{i} P (X = x_{i})$
Loi binomiale $B (n, p)$ :

P (X = k) = C (n, k) \times p^{k} \times (1 - p)^{n - k}

E (X) = n p

Var (X) = n p (1 - p)

V. Arbre de probabilité

Règle de la branche : on multiplie les probabilités le long d'une branche.
Règle des chemins : on additionne les probabilités des chemins menant à l'événement.
Exemple : Urne I (3R, 2B), urne II (1R, 4B). On choisit une urne au hasard, puis une boule.

P (Rouge) = P (Ω_{1}) \cdot P (R ∣ Ω_{1}) + P (Ω_{2}) \cdot P (R ∣ Ω_{2}) = (\frac{1}{2}) (\frac{3}{5}) + (\frac{1}{2}) (\frac{1}{5}) = \frac{3}{10} + \frac{1}{10} = \frac{2}{5}

VI. Variance et écart-type

Variance :

V (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}

Écart-type :

σ (X) = V (X)

Pour une loi binomiale

B (n, p)

V (X) = n p (1 - p)

σ (X) = n p (1 - p)

Propriétés :

V (a X + b) = a^{2} V (X)

;

E (a X + b) = a E (X) + b

VII. Formule de Bayes

(B_{1}, B_{2}, \dots, B_{n})

est une partition de Ω :
$P (B_{k} ∣ A) = \frac{P ( A ∣ B _{k} ) \cdot P ( B _{k} )}{i \sum P ( A ∣ B _{i} ) \cdot P ( B _{i} )}$
Exemple : diagnostic médical — probabilité d'être malade sachant que le test est positif (voir exercice dépistage).

📈 Figure clé

Arbre de probabilité

🔑 Formules clés à retenir

$P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)$
$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$
$P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$
Indépendants : $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$
Probabilités totales : $P (A) = \sum P (A ∣ B_{i}) P (B_{i})$
Bayes : $P (B_{k} ∣ A) = \frac{P ( A ∣ B _{k} ) P ( B _{k} )}{P ( A )}$
Binomiale : $P (X = k) = C_{n}^{k} p^{k} (1 - p)^{n - k}$
$E (X) = n p$ , $V (X) = n p (1 - p)$ , $σ = n p (1 - p)$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Indépendance ≠ incompatibilité : deux événements incompatibles ( $A \cap B = \emptyset$ ) ne sont JAMAIS indépendants (sauf si l'un a probabilité 0). Confondre ces deux notions est une erreur fréquente !

❌

Probabilité conditionnelle : bien identifier qui conditionne qui : $P (A ∣ B) \neq = P (B ∣ A)$ . "Probabilité d'être malade sachant que le test est positif" ≠ "probabilité d'être positif sachant qu'on est malade".

❌

Binomiale : vérifier les conditions : $X \sim B (n, p)$ seulement si les épreuves sont indépendantes et la probabilité $p$ est constante. Si on tire sans remise, c'est une loi hypergéométrique !

🟢 Astuces de pros

✅

Formule des probabilités totales avec arbre : dessine l'arbre, puis $P (A) =$ somme des produits le long de chaque branche menant à $A$ . Visuel et infaillible !

✅

Bayes = retour sur l'arbre : après avoir calculé $P (A)$ par les prob. totales, $P (B_{k} ∣ A) =$ branche spécifique / total. Pense "quelle proportion de $A$ vient de $B_{k}$ ?"

💡

Espérance et variance de la binomiale : $E (X) = n p$ (intuitif : $n$ essais × proba de succès). $V (X) = n p (1 - p)$ — maximale quand $p = \frac{1}{2}$ (le plus "aléatoire").

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Probabilités

Type 1 : Décrire l'univers et traduire le langage des événements

Quand ? Au début d'un exercice, on te demande l'univers $Ω$ , ou de traduire des phrases ("au moins", "ou", "et", "contraire") en événements.

Décris précisément l'univers $Ω$ et compte son cardinal $card (Ω)$ .
Traduis " $A$ et $B$ " par l'intersection $A \cap B$ , " $A$ ou $B$ " par la réunion $A \cup B$ .
Traduis "contraire de $A$ " par $\overline{A}$ , et "au moins un" par le contraire de "aucun".
Repère les événements incompatibles : $A \cap B = \emptyset$ .

Exemple éclair : "Obtenir au moins un pile" en deux lancers, c'est $\overline{(aucun pile)}$ , donc $Ω$ privé de ${F F}$ .

Type 2 : Calculer une probabilité par équiprobabilité

Quand ? Les issues sont également probables (dé équilibré, tirage au hasard, boules indiscernables).

Justifie l'équiprobabilité (objet équilibré, tirage au hasard).
Compte le nombre de cas favorables $card (A)$ .
Compte le nombre de cas possibles $card (Ω)$ .
Applique $p (A) = \frac{card ( A )}{card ( Ω )}$ et simplifie la fraction.

Exemple éclair : Tirer un roi dans un jeu de $32$ cartes : $p = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$ .

Type 3 : Dénombrer pour préparer un calcul de probabilité

Quand ? Tirages simultanés, successifs avec ou sans remise, choix d'équipes : il faut compter avant de diviser.

Repère si l'ordre compte : s'il compte, pense aux p-listes ou arrangements ; sinon aux combinaisons.
Repère s'il y a répétition possible (avec remise) ou non (sans remise).
Sans ordre, sans remise (tirage simultané) : utilise les combinaisons $(p n) = \frac{n !}{p ! ( n - p )!}$ .
Avec ordre, sans remise : utilise les arrangements $A_{n}^{p} = \frac{n !}{( n - p )!}$ .
Calcule cas favorables et cas possibles avec le même mode de comptage, puis fais le rapport.

Exemple éclair : Tirer simultanément $2$ boules parmi $5$ : $(2 5) = 10$ tirages possibles.

Type 4 : Utiliser la formule de la réunion et le passage au contraire

Quand ? On demande $p (A \cup B)$ , ou une probabilité du type "au moins un" plus simple à traiter par le contraire.

Pour une réunion, applique $p (A \cup B) = p (A) + p (B) - p (A \cap B)$ .
Si $A$ et $B$ sont incompatibles, simplifie en $p (A \cup B) = p (A) + p (B)$ .
Pour le contraire, applique $p (\overline{A}) = 1 - p (A)$ .
Pour "au moins un", calcule plutôt le contraire "aucun" puis soustrais à $1$ .

Exemple éclair : Si $p (aucun d \overset{e}{ˊ} faut) = 0, 9$ , alors $p (au moins un d \overset{e}{ˊ} faut) = 1 - 0, 9 = 0, 1$ .

Type 5 : Calculer une probabilité conditionnelle

Quand ? On donne une information "sachant que" qui restreint l'univers, ou on travaille avec un tableau d'effectifs.

Identifie l'événement conditionnant $B$ et applique $p (A / B) = \frac{p ( A \cap B )}{p ( B )}$ .
Avec un tableau, repère la ligne ou la colonne de $B$ : elle devient le nouvel univers.
Compte les cas favorables à $A$ dans cette sous-population, puis divise par l'effectif de $B$ .
Vérifie la cohérence : une probabilité reste comprise entre $0$ et $1$ .

Exemple éclair : Sur $20$ filles dont $8$ aiment les maths : $p (maths / fille) = \frac{8}{20} = 0, 4$ .

Type 6 : Représenter par un arbre et calculer une probabilité d'intersection

Quand ? Expérience à plusieurs étapes (tirages successifs, dépistage) où les probabilités dépendent de l'étape précédente.

Construis l'arbre : chaque branche porte une probabilité, et la somme des branches d'un même nœud vaut $1$ .
Pour la probabilité d'un chemin, multiplie les probabilités le long des branches : $p (A \cap B) = p (A) \times p (B / A)$ .
Pour un événement réalisé par plusieurs chemins, additionne les probabilités de ces chemins.
Vérifie en t'assurant que la somme de toutes les feuilles fait $1$ .

Exemple éclair : Deux tirages sans remise, urne $3$ rouges sur $5$ : $p (2 rouges) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{3}{10}$ .

Type 7 : Reconnaître et exploiter l'indépendance

Quand ? On affirme (ou on doit vérifier) que deux événements n'ont pas d'influence l'un sur l'autre.

Rappelle la définition : $A$ et $B$ sont indépendants si $p (A \cap B) = p (A) \times p (B)$ .
Pour vérifier, calcule séparément $p (A \cap B)$ et le produit $p (A) \times p (B)$ , puis compare.
S'ils sont indépendants et qu'on cherche une intersection, multiplie directement les probabilités.
Attention : indépendant n'est pas incompatible ; ne confonds pas les deux notions.

Exemple éclair : Deux lancers d'une pièce : $p (deux piles) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ car les lancers sont indépendants.

Probabilités — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

44 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 44 corrigés

Exercices Faciles

20 exercices

Probabilités simples — dé et pièce

Facile

Énoncé

On lance un dé équilibré à 6 faces. 1) P(obtenir un pair) ? 2) P(obtenir >4) ? 3) P(pair OU >4) ?

Ma réponse

Probabilités

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I. Vocabulaire

II. Opérations sur les événements

III. Probabilité conditionnelle

IV. Variables aléatoires et loi binomiale

V. Arbre de probabilité

VI. Variance et écart-type

VII. Formule de Bayes

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 Pièges classiques

🟢 Astuces de pros

Méthodes types

Méthodes types — Probabilités

Type 1 : Décrire l'univers et traduire le langage des événements

Type 2 : Calculer une probabilité par équiprobabilité

Type 3 : Dénombrer pour préparer un calcul de probabilité

Type 4 : Utiliser la formule de la réunion et le passage au contraire

Type 5 : Calculer une probabilité conditionnelle

Type 6 : Représenter par un arbre et calculer une probabilité d'intersection

Type 7 : Reconnaître et exploiter l'indépendance

Probabilités — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Probabilités simples — dé et pièce

Événement complémentaire

Tableau de probabilités

Loi binomiale B(5, 0,4) — calculs directs

Tirage d'une boule

Lancer de dés

Tirage de boules

Loterie

Choix de fruits

Lancer d'un dé

Tirage de boules

Choix d'étudiants

Sondage sur les préférences

Tirage de cartes

Probabilité d'un tirage

Loi de probabilité

Choix d'une ville

Tirage d'une boule

Événements incompatibles

Tirage de cartes

Exercices Intermédiaires

Variable aléatoire — espérance

Variance et écart-type d'une loi binomiale

Épreuves de mathématiques

Roulette marocaine

Jeux de société

Événements indépendants

Loi binomiale

Arbre de probabilité

Arbre de probabilité

Variable aléatoire

Loi binomiale

Événements indépendants

Événements indépendants

Loi binomiale

Exercices Difficiles

Loi binomiale

Variance d'une variable aléatoire

Loi binomiale - tests

Événements indépendants

Estimation d'une population

Variance d'une variable aléatoire

Événements incompatibles

Problème complexe

Loi binomiale appliquée

Calcul de la variance

Exercices supplémentaires

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Quiz — Probabilités

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