Fonctions exponentielles — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. La fonction exponentielle

Définition

La fonction exponentielle, notée $exp$ ou $e^{x}$ , est la fonction réciproque du logarithme népérien.

$exp : R \to] 0, + \infty [$
$(e^{x})^{'} = e^{x}$ (la dérivée est elle-même !)
$e^{0} = 1$ , $e^{1} = e$
$exp$ strictement croissante, toujours positive

Relation fondamentale

$e^{l n x} = x$ (si $x > 0$ )
$ln (e^{x}) = x$ (pour tout $x$ )
$e^{x} = y \Leftrightarrow x = ln y$ (avec $y > 0$ )

II. Propriétés algébriques

Pour $a, b \in R$ , $n \in Z$ :

$e^{a + b} = e^{a} \cdot e^{b}$
$e^{a - b} = \frac{e ^{a}}{e ^{b}}$
$(e^{a})^{n} = e^{na}$
$e^{- a} = \frac{1}{e ^{a}}$

III. Limites importantes

$x \to - \infty lim e^{x} = 0$
$x \to + \infty lim e^{x} = + \infty$
$x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1$
$x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x ^{n}} = + \infty$ (croissance comparée — l'exp gagne)
$x \to - \infty lim x^{n} e^{x} = 0$ (croissance comparée)

IV. Dérivée et équations

Dérivée composée

$(e^{u})^{'} = u^{'} \cdot e^{u}$

Équations

$e^{x} = a$ : si $a > 0$ , $x = ln a$ ; sinon pas de solution
$e^{x} = e^{y} \Leftrightarrow x = y$
Substitution $X = e^{x}$ pour ramener à une équation polynomiale

V. Fonction $a^{x}$ (puissance générale)

Pour $a > 0$ : $a^{x} = e^{x l n a}$ .

Dérivée : $(a^{x})^{'} = a^{x} ln a$ .

VI. Méthode BAC type 2024

Énoncé : Soit $f (x) = (x - 1) e^{- x}$ sur $R$ .
1) Calculer $x \to - \infty lim f (x)$ et $x \to + \infty lim f (x)$ .
2) Calculer $f^{'} (x)$ et dresser le tableau de variations.

Solution :

1) En $+ \infty$ : $f (x) = \frac{x - 1}{e ^{x}}$ . Par croissance comparée, $lim = 0$ .
En $- \infty$ : $x - 1 \to - \infty$ et $e^{- x} \to + \infty$ , donc $f (x) \to - \infty$ .

2) $f^{'} (x) = e^{- x} + (x - 1) (- e^{- x}) = e^{- x} (1 - (x - 1)) = (2 - x) e^{- x}$ .
$e^{- x} > 0$ , donc $f^{'}$ a le signe de $2 - x$ .
$f$ croissante sur $] - \infty, 2]$ , décroissante sur $[2, + \infty [$ .
Maximum en $x = 2$ : $f (2) = e^{- 2} \approx 0, 135$ .

VII. Top 5 pièges à éviter

Écrire $e^{a + b} = e^{a} + e^{b}$ . FAUX (c'est $e^{a} \times e^{b}$ ).
$(e^{u})^{'} = e^{u}$ . FAUX, il faut $u^{'} \cdot e^{u}$ .
Croire que $e^{x} = - 2$ a une solution. FAUX, $e^{x} > 0$ toujours.
Mal appliquer les croissances comparées (ordre $ln ≪ x^{n} ≪ e^{x}$ ).
Pour $a^{x}$ , dériver comme $x a^{x - 1}$ . FAUX, il faut passer par $e^{x l n a}$ .

📈 Figure clé

Courbe de

e^{x}

🔑 Formules clés à retenir

Définition : $exp = ln^{- 1}$

$(e^{x})^{'} = e^{x}$ , $e^{0} = 1$ , $e^{x} > 0$

Propriétés :

$e^{a + b} = e^{a} \cdot e^{b}$
$e^{a - b} = e^{a} / e^{b}$
$(e^{a})^{n} = e^{na}$

Limites :

$x \to - \infty lim e^{x} = 0$
$x \to + \infty lim e^{x} / x^{n} = + \infty$

Dérivée : $(e^{u})^{'} = u^{'} \cdot e^{u}$

Équation : $e^{x} = a$ (a > 0) $\Leftrightarrow x = ln a$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 $exp$ transforme une SOMME en PRODUIT. Inverse du $ln$ .
🎯 Pour résoudre $e^{2 x} + a \cdot e^{x} + b = 0$ : pose $X = e^{x}$ et résous l'équation polynomiale en $X$ .

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Fonctions exponentielles

Type 1 : Simplifier une expression avec $e^{x}$

Quand ? On demande de simplifier ou de regrouper une expression contenant des exponentielles.

Applique les propriétés : $e^{a} \times e^{b} = e^{a + b}$ ; $\frac{e ^{a}}{e ^{b}} = e^{a - b}$ ; $(e^{a})^{n} = e^{na}$ ; $e^{- a} = \frac{1}{e ^{a}}$ .
Valeurs clés : $e^{0} = 1$ et $e^{1} = e$ .
Lien réciproque avec $ln$ : $e^{l n a} = a$ (pour $a > 0$ ) et $ln (e^{a}) = a$ .
Factorise par la plus petite puissance de $e$ quand c'est utile.

Exemple éclair : $\frac{e ^{2 x} \times e ^{x}}{e ^{3 x}} = e^{2 x + x - 3 x} = e^{0} = 1$ .

Type 2 : Résoudre une équation avec $e^{x}$

Quand ? Équation du type $e^{A} = e^{B}$ , $e^{A} = k$ , ou se ramenant à un polynôme en $e^{x}$ .

$e^{A} = e^{B} ⟺ A = B$ (l'exponentielle est strictement croissante donc injective).
$e^{A} = k$ : possible seulement si $k > 0$ , alors $A = ln k$ .
Équation « cachée » : pose $X = e^{x}$ (avec $X > 0$ ) pour obtenir un polynôme, résous-le.
Reviens à $x = ln X$ et garde seulement les $X > 0$ .

Exemple éclair : $e^{2 x} - 3 e^{x} + 2 = 0$ : pose $X = e^{x}$ , alors $X^{2} - 3 X + 2 = 0$ donne $X = 1$ ou $X = 2$ , soit $x = 0$ ou $x = ln 2$ .

Type 3 : Résoudre une inéquation avec $e^{x}$

Quand ? Inéquation du type $e^{A} < e^{B}$ ou $e^{A} < k$ .

Rappelle que $e^{x} > 0$ pour tout réel $x$ (très utile pour le signe).
Stricte croissance : $e^{A} < e^{B} ⟺ A < B$ (le sens est conservé).
$e^{A} < k$ : si $k \leq 0$ aucune solution ; si $k > 0$ alors $A < ln k$ .
Conclus avec l'intervalle des solutions.

Exemple éclair : $e^{x} > 1 = e^{0}$ équivaut à $x > 0$ .

Type 4 : Calculer une limite avec $e^{x}$ (croissances comparées)

Quand ? FI du type $\frac{e ^{x}}{x}$ , $x e^{x}$ , ou limite en $\pm \infty$ .

Limites de base : $x \to + \infty lim e^{x} = + \infty$ et $x \to - \infty lim e^{x} = 0^{+}$ .
Croissances comparées : $x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x} = + \infty$ et $x \to - \infty lim x e^{x} = 0$ (l'exponentielle « l'emporte » sur la puissance).
Limite de référence : $x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1$ .
Pour une composée, pose $X = u (x)$ et ramène-toi à une limite connue.

Exemple éclair : $x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x ^{2}} = + \infty$ car l'exponentielle croît plus vite que toute puissance de $x$ .

Type 5 : Dériver une fonction avec $e^{x}$

Quand ? On demande la dérivée d'une fonction contenant une exponentielle.

Dérivée de base : $(e^{x})^{'} = e^{x}$ .
Composée : $(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$ (à appliquer dès qu'il y a une expression en exposant).
Combine avec les règles de produit et de quotient si nécessaire.
Factorise par $e^{u}$ (toujours strictement positif) pour étudier le signe de $f^{'}$ .

Exemple éclair : $f (x) = x e^{x}$ donne $f^{'} (x) = e^{x} + x e^{x} = (1 + x) e^{x}$ , du signe de $1 + x$ .

Type 6 : Étude complète d'une fonction avec $e^{x}$

Quand ? Exercice « étudier et tracer $f$ » où $f$ contient une exponentielle.

Domaine : souvent $R$ tout entier (l'exponentielle est définie partout).
Limites aux bornes en $\pm \infty$ via les croissances comparées, et recherche d'asymptotes.
Dérive avec $u^{'} e^{u}$ ; comme $e^{u} > 0$ , le signe de $f^{'}$ est celui du facteur restant.
Tableau de variations, extremums, intersections avec les axes, puis tracé.

Exemple éclair : $f (x) = x e^{x}$ : $x \to - \infty lim f = 0^{-}$ (asymptote $y = 0$ ), minimum en $x = - 1$ avec $f (- 1) = - \frac{1}{e}$ .

Type 7 : Exponentielle de base $a$ et modèles d'évolution

Quand ? Contexte croissance/décroissance (population, désintégration radioactive) ou écriture $a^{x}$ .

Écris $a^{x} = e^{x l n a}$ (avec $a > 0$ ) pour te ramener à l'exponentielle de base $e$ .
Pour dériver : $(a^{x})^{'} = ln a \cdot a^{x}$ .
Modèle $N (t) = N_{0} e^{k t}$ : si $k > 0$ croissance, si $k < 0$ décroissance ; utilise $ln$ pour résoudre $N (t) =$ valeur cible.
Demi-vie : résous $N (t) = \frac{N _{0}}{2}$ , ce qui donne $t = \frac{ln 2}{∣ k ∣}$ .

Exemple éclair : $N (t) = N_{0} e^{- 0, 1 t}$ : la demi-vie vérifie $e^{- 0, 1 t} = \frac{1}{2}$ , soit $t = \frac{ln 2}{0 , 1} \approx 6, 93$ .

Fonctions exponentielles — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

71 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 71 corrigés

Exercices Faciles

26 exercices

Asymptote horizontale en -∞

Facile

Énoncé

Soit $f (x) = e^{x} + 2$ . Déterminer l'asymptote horizontale à la courbe de $f$ en $- in f t y$ .

Ma réponse

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I. La fonction exponentielle

Définition

Relation fondamentale

II. Propriétés algébriques

III. Limites importantes

IV. Dérivée et équations

Dérivée composée

Équations

V. Fonction ax (puissance générale)

VI. Méthode BAC type 2024

VII. Top 5 pièges à éviter

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Méthodes types — Fonctions exponentielles

Type 1 : Simplifier une expression avec ex

Type 2 : Résoudre une équation avec ex

Type 3 : Résoudre une inéquation avec ex

Type 4 : Calculer une limite avec ex (croissances comparées)

Type 5 : Dériver une fonction avec ex

Type 6 : Étude complète d'une fonction avec ex

Type 7 : Exponentielle de base a et modèles d'évolution

Fonctions exponentielles — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Asymptote horizontale en -∞

Croissance comparée e^x/x

Dérivée d'un produit avec $e^x$

Dérivée de $e^{3x-1}$

Dérivée de $e^{-x^2}$

Équation e^x = e^3

Équation exponentielle

Tangente à l'exponentielle

Équation exponentielle simple

Simplification

Inéquation exponentielle

Simplification d'exponentielle

Équation exponentielle

Équation $e^x = a$

Simplification exponentielle

Résoudre une équation avec exp

Inéquation avec l'exponentielle

Inéquation simple e^x < e^a

Limite de e^x en +∞ et -∞

Limite de x·e^x en -∞

Limite (e^x − 1)/x en 0

Puissance (e^a)^n

Sens de variation de $e^{x}-x$

Simplification d'un quotient e^(a-b)

Simplification de e^(a+b)

Tangente à $e^{x}$ en $0$

Exercices Intermédiaires

Asymptote oblique avec e^x

Équation avec e^(-x)

Équation produit nul

Équation quadratique en e^x

Étude de $(x-1)e^{x}$

Substitution X = e^x

Croissance exponentielle (population)

Croissance comparée

Étude de $f(x) = (x-1) e^x$

Étude de $x e^x$

Étude $f(x) = e^x - x$

Limite et primitive

Dérivée d'exponentielle composée

Étude variations exponentielle

Dérivée d'une fonction avec exp

Limites et croissance comparée

Extremum de $(x^2-3)e^{x}$

Inéquation après factorisation

Inéquation quadratique en e^x

Limite avec e^x en +∞ et -∞

Limite e^(2x)/(e^x − 1)

Limite e^x/(x+1) en +∞

Limite (e^x − x)/(e^x + x)