Symétrie centrale

التماثل المركزي

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Symétrie centrale — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

I. Définition

Soit O un point du plan. La symétrie centrale de centre O est la transformation qui à tout point M associe un point M' tel que O est le milieu du segment [MM'].

On dit que M' est le symétrique de M par rapport au centre O.

Construire le symétrique de M par rapport à O :

  1. Tracer la droite (OM).
  2. Reporter la distance OM de l'autre côté de O pour obtenir M' tel que OM = OM'.
  3. M' est le symétrique cherché.

II. Propriétés de la symétrie centrale

  • Le symétrique du centre O est lui-même : SO(O) = O.
  • Conservation : la symétrie centrale conserve les distances, les longueurs et les angles.
  • Le symétrique d'une droite est une droite parallèle.
  • Le symétrique d'un segment est un segment de même longueur.
  • Le symétrique d'un cercle de centre A et rayon R est un cercle de même rayon R, de centre A' (symétrique de A).

III. Figure symétrique par rapport à un centre

Une figure F est symétrique par rapport à un centre O si son image par la symétrie centrale de centre O est elle-même.

O s'appelle alors un centre de symétrie de la figure.

Figures ayant un centre de symétrie :

  • Cercle : tout centre (infinité).
  • Rectangle : le centre du rectangle.
  • Losange : le point d'intersection des diagonales.
  • Parallélogramme : le point d'intersection des diagonales.

Figures sans centre de symétrie : triangle quelconque, triangle isocèle non équilatéral.

IV. Symétrie centrale en coordonnées

Si O(a ; b) est le centre et M(x ; y) le point, alors le symétrique M' a pour coordonnées :

x' = 2a − x    y' = 2b − y

Cas particulier — symétrie par rapport à l'origine O(0 ; 0) : M'(−x ; −y).

V. Différence avec la symétrie axiale

Symétrie axialeSymétrie centrale
Élément fixeUn axe (droite)Un centre (point)
MM' ⊥ axeOui, axe = médiatrice de [MM']Non, O = milieu de [MM']
DistancesConservéesConservées
OrientationInverséeConservée

🔑 Formules clés à retenir

  • O milieu de [MM'] ⇔ M' symétrique de M par rapport à O
  • Coordonnées : x' = 2a−x, y' = 2b−y
  • Par rapport à O(0;0) : M(x;y) ↦ M'(−x;−y)
  • Parallélogramme, rectangle, losange → centre de symétrie
  • Triangle (en général) → pas de centre de symétrie
⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Confondre symétrie axiale et centrale : axiale = par rapport à une droite (miroir), centrale = par rapport à un point (demi-tour). Le résultat visuel est différent !

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Erreur dans la formule : si le centre est O(a;b), alors M'(2a−x ; 2b−y). Si le centre est O(0;0), simplement M'(−x ; −y). Ne pas oublier le "2a" !

🟢 Astuces de pros

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Méthode graphique : pour trouver le symétrique de M par rapport à O, trace le segment [MO] et prolonge-le de l'autre côté de O de la même longueur. M' est à la même distance de O que M.

✅

Centre de symétrie du parallélogramme : l'intersection des diagonales est toujours un centre de symétrie du parallélogramme. Très utile pour les problèmes de construction !

💡

La symétrie centrale conserve l'orientation : contrairement à la symétrie axiale qui inverse l'orientation (droite/gauche), la symétrie centrale conserve le sens de parcours des sommets.