Cercle et Circonférence — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

Chapitre 11 : Cercle et Circonférence

I. Définitions

Un cercle est l'ensemble des points à une distance constante (rayon) d'un point fixe (centre).

Vocabulaire :

Rayon (r) : distance du centre à un point du cercle
Diamètre (d) : d = 2r
Circonférence (ou périmètre) : distance autour du cercle
Arc : partie du cercle
Corde : segment reliant deux points du cercle

II. Formules du cercle

Circonférence : C = πd = 2πr (où π ≈ 3,14159)

Exemple : Si r = 5 cm, alors C = 2π × 5 = 10π ≈ 31,4 cm

Aire du disque : A = πr²

Exemple : Si r = 5 cm, alors A = π × 5² = 25π ≈ 78,5 cm²

III. Angles et arcs

Angle au centre : Angle dont le sommet est au centre du cercle

Angle inscrit : Angle dont le sommet est sur le cercle

Propriété : Un angle inscrit = moitié de l'angle au centre qui intercepte le même arc

🔑 Formules clés à retenir

Diamètre : d = 2r
Circonférence : C = πd = 2πr
Aire : A = πr²
Arc : longueur = (angle/360°) × 2πr

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Utiliser le diamètre à la place du rayon — Dans A = πr², c'est le rayon r, pas le diamètre d. Si on donne d = 10 cm, r = 5 cm.

❌

Confondre périmètre et aire — Périmètre (circonférence) = 2πr, c'est une longueur (cm). Aire = πr², c'est une surface (cm²).

❌

Tout point du cercle est à distance r du centre, pas à l'intérieur — Le disque est la surface intérieure, le cercle est uniquement le bord.

🟢 Astuces de pros

✅

Secteur angulaire : aire = (angle/360°) × πr². La proportion (angle/360°) donne la fraction du disque entier.

💡

Laisser π dans le résultat exact (ex: 25π cm²). Calculer l'approximation décimale seulement si demandé.

Cercle et Circonférence — Fiche d'exercices

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✏️ Exercices interactifs

14 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

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🟢 Exercices Faciles

4 exercices

Calculer la circonférence

🟢 Facile

Énoncé

Calculer la circonférence d'un cercle de rayon 4 cm
Calculer la circonférence d'un cercle de diamètre 10 cm

Ma réponse

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Correction détaillée

C = 2πr = 2π × 4 = 8π ≈ 25,1 cm
C = πd = π × 10 = 10π ≈ 31,4 cm

Calculer l'aire du disque

🟢 Facile

Énoncé

Calculer l'aire d'un disque de rayon 3 cm
Calculer l'aire d'un disque de rayon 6 cm

Ma réponse

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Correction détaillée

A = πr² = π × 3² = 9π ≈ 28,3 cm²
A = πr² = π × 6² = 36π ≈ 113,1 cm²

Corde et distance au centre

🟢 Facile

Énoncé

Un cercle de centre O et de rayon 10 cm a une corde AB.

Si la distance du centre à la corde est de 6 cm, calculer la longueur de AB.
Si AB = 16 cm, calculer la distance du centre à AB.
Quelle corde est la plus longue : celle à 3 cm du centre ou celle à 8 cm du centre ?

Ma réponse

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Correction détaillée

H milieu de AB. OH = 6, OA = 10. AH = √(OA² - OH²) = √(100 - 36) = 8. AB = 2 × 8 = 16 cm
AH = 8, OA = 10. OH = √(100 - 64) = √36 = 6 cm
Plus près du centre = plus longue. Corde à 3 cm est la plus longue.

Propriétés du cercle — rayon et corde

🟢 Facile

Énoncé

Un cercle de centre O a un rayon de 5 cm. La corde AB est perpendiculaire au rayon OI où I est le milieu de AB.

Si OI = 3 cm, calculer la longueur de la corde AB.
Si AB = 8 cm, calculer la distance OI.
Quelle est la corde la plus longue d'un cercle ? Comment s'appelle-t-elle ?

Ma réponse

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Correction détaillée

OI ⊥ AB et I est le milieu de AB. OA = 5 (rayon), OI = 3. AI² = OA² − OI² = 25 − 9 = 16. AI = 4. AB = 2 × AI = 8 cm.
AB = 8, AI = 4. OI² = OA² − AI² = 25 − 16 = 9. OI = 3 cm.
La corde la plus longue est le diamètre (passe par le centre). Dans ce cercle, diamètre = 2 × 5 = 10 cm.

🟡 Exercices Intermédiaires

6 exercices

Longueur d'un arc et aire d'un secteur

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Un cercle a un rayon de 6 cm.

Calculer la longueur d'un arc correspondant à un angle de 90° au centre.
Calculer l'aire du secteur circulaire correspondant à cet angle de 90°.
Quel angle au centre correspond à un arc de longueur 4π cm ?

Ma réponse

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Correction détaillée

Longueur de l'arc = (angle / 360°) × 2πr

= (90 / 360) × 2π × 6 = (1/4) × 12π = 3π ≈ 9,42 cm
Aire du secteur = (angle / 360°) × πr²

= (90 / 360) × π × 36 = (1/4) × 36π = 9π ≈ 28,27 cm²
4π = (angle / 360°) × 2π × 6 = (angle / 360°) × 12π

angle / 360° = 4π / 12π = 1/3 ⇒ angle = 120°

Angle inscrit et angle au centre

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Dans un cercle de centre O :

Un angle au centre vaut 80°. Quel est l'angle inscrit interceptant le même arc ?
Un angle inscrit vaut 35°. Quel est l'angle au centre correspondant ?
Un angle inscrit dans un demi-cercle (angle qui s'appuie sur un diamètre). Quelle est sa valeur ? Justifier.

Ma réponse

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Correction détaillée

Angle inscrit = (1/2) × angle au centre = 80° / 2 = 40°
Angle au centre = 2 × angle inscrit = 2 × 35° = 70°
L'angle au centre correspondant au diamètre est 180° (angle plat). Donc l'angle inscrit = 180° / 2 = 90°. Tout angle inscrit dans un demi-cercle est un angle droit.

Triangle inscrit dans un cercle

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Un triangle ABC est inscrit dans un cercle de centre O et de rayon R = 5 cm.

Si AB est un diamètre, quelle est la nature de l'angle en C ?
On donne AB = 8 cm et BC = 6 cm. L'angle en C est-il droit ? Sinon, calculer AC.
Calculer le périmètre du triangle si les trois côtés mesurent AB = 8 cm, BC = 6 cm, CA = 7 cm.

Ma réponse

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Correction détaillée

Si AB est un diamètre, par le théorème de Thalès inscrit : l'angle en C est droit (90°).
AB = 2R = 10 cm ≠ 8 cm, donc AB n'est pas un diamètre. L'angle en C n'est pas forcément droit. AB² = 64 ≠ BC² + CA² seulement si C est donné. On ne peut conclure sans AC.
Périmètre = 8 + 6 + 7 = 21 cm

Secteur circulaire et arc

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Un cercle a un rayon de 6 cm.

Calculer la longueur de l'arc correspondant à un angle central de 120°.
Calculer l'aire du secteur circulaire d'angle 90°.
Un arc mesure 4π cm. Quel est l'angle central correspondant ?

Ma réponse

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Correction détaillée

Longueur arc = (angle/360°) × 2πR = (120/360) × 2π × 6 = (1/3) × 12π = 4π ≈ 12,6 cm
Aire secteur = (angle/360°) × πR² = (90/360) × π × 36 = (1/4) × 36π = 9π ≈ 28,3 cm²
4π = (α/360) × 2π × 6 = 12πα/360 ⇒ 4 = 12α/360 ⇒ α = 4 × 360/12 = 120°

Angle inscrit et angle au centre

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Dans un cercle de centre O, l'angle AOB au centre mesure 80°. Le point C est sur l'arc AB (le grand arc).

Calculer l'angle inscrit ACB.
Si le point D est sur le petit arc AB, calculer l'angle ADB.
Que conclure sur les angles inscrits qui interceptent le même arc ?

Ma réponse

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Correction détaillée

L'angle inscrit est la moitié de l'angle au centre interceptant le même arc. Angle ACB = 80°/2 = 40°.
D est sur le petit arc, donc l'angle ADB est supplémentaire à ACB (angles inscrits dans des demi-cercles opposés). ADB = 180° − 40° = 140°.
Tous les angles inscrits interceptant le même arc sont égaux (théorème de l'angle inscrit).

Arc et secteur circulaire

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Un cercle a un rayon de 6 cm. Un secteur circulaire a un angle au centre de 120°.

Calculer la longueur de l'arc de ce secteur.
Calculer l'aire de ce secteur.
Si l'arc d'un autre secteur est de 5π cm, quel est son angle au centre ?

Ma réponse

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Correction détaillée

Longueur d'arc = (θ/360°) × 2πr = (120/360) × 2π × 6 = (1/3) × 12π = 4π ≈ 12,57 cm.
Aire du secteur = (θ/360°) × πr² = (1/3) × π × 36 = 12π ≈ 37,70 cm².
Longueur d'arc = 5π = (θ/360°) × 2π × 6 = 12πθ/360 ⇒ θ = 5π × 360/(12π) = 150°.

🔴 Exercices Difficiles

4 exercices

Problèmes sur le cercle

🔴 Difficile

Énoncé

Une piste circulaire a une circonférence de 400 m. Quel est son rayon ? (arrondir au mètre)
Un disque de pizza a un diamètre de 30 cm. On coupe un secteur d'angle 72°. Calculer l'aire de ce secteur.
Deux cercles concentriques ont des rayons de 5 cm et 8 cm. Calculer l'aire de la couronne (région entre les deux cercles).

Ma réponse

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Correction détaillée

C = 2πr ⇒ r = C / (2π) = 400 / (2π) = 400 / 6,28 ≈ 64 m
Rayon = 15 cm. Aire du secteur = (72/360) × π × 15² = (1/5) × 225π = 45π ≈ 141,4 cm²
Aire de la couronne = Aire du grand disque - Aire du petit disque

= π × 8² - π × 5² = 64π - 25π = 39π ≈ 122,5 cm²

Tangente et propriétés du cercle

🔴 Difficile

Énoncé

Un cercle de centre O et de rayon 5 cm. Le point A est à 13 cm de O. On trace une tangente au cercle passant par A et touchant le cercle en T. Calculer AT.
Dans un cercle de rayon 10 cm, une corde AB mesure 12 cm. Calculer la distance du centre O à la corde AB.
Un triangle inscrit dans un demi-cercle de diamètre 10 cm. L'un des côtés est le diamètre. Calculer la hauteur maximale du triangle.

Ma réponse

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Correction détaillée

OT est le rayon et AT est tangente, donc OT ⊥ AT. Le triangle OAT est rectangle en T.

AT² = OA² - OT² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144

AT = 12 cm
Soit H le milieu de AB (le rayon perpendiculaire à une corde passe par son milieu).

AH = AB/2 = 6 cm. Dans le triangle OHA rectangle en H :

OH² = OA² - AH² = 10² - 6² = 100 - 36 = 64 ⇒ OH = 8 cm
Tout triangle inscrit dans un demi-cercle et dont un côté est le diamètre est rectangle.

La hauteur maximale est le rayon (lorsque le sommet est au sommet du cercle) = 5 cm.

Problème de piste circulaire

🔴 Difficile

Énoncé

Un stade a une piste ovale simplifiée : deux demi-cercles de rayon 30 m reliés par deux droites de 80 m.

Calculer la longueur totale de la piste.
Calculer l'aire totale enfermée par la piste.
Un athlète court 3 tours. Quelle distance parcourt-il ?

Ma réponse

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Correction détaillée

Les deux demi-cercles forment un cercle complet : circonférence = 2π × 30 = 60π. Deux droites = 2 × 80 = 160 m. Total : 60π + 160 ≈ 348,5 m
Aire = rectangle + cercle = (80 × 60) + π × 30² = 4 800 + 900π ≈ 4 800 + 2 827 = 7 627 m²
3 × (60π + 160) = 180π + 480 ≈ 1 045,5 m

Corde et diamètre — propriété de l'angle droit

🔴 Difficile

Énoncé

Théorème de Thalès dans le cercle : Si AB est un diamètre d'un cercle, alors pour tout point C sur le cercle (différent de A et B), l'angle ACB est droit.

Un cercle a un diamètre AB = 10 cm. Le point C est sur le cercle avec AC = 6 cm. Calculer BC.
Vérifier que l'angle ACB est bien droit.
Calculer l'aire du triangle ABC.

Ma réponse

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Correction détaillée

Puisque AB est un diamètre, l'angle ACB = 90°. Par Pythagore dans le triangle rectangle ACB :
AB² = AC² + BC² ⇒ 100 = 36 + BC² ⇒ BC² = 64 ⇒ BC = 8 cm.
AC² + BC² = 36 + 64 = 100 = AB². La réciproque de Pythagore confirme que l'angle ACB est bien droit. ✓
Aire = (1/2) × AC × BC = (1/2) × 6 × 8 = 24 cm².

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Chapitre 11 : Cercle et Circonférence

I. Définitions

II. Formules du cercle

III. Angles et arcs

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 Pièges classiques

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Calculer la circonférence

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Corde et distance au centre

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Longueur d'un arc et aire d'un secteur

Angle inscrit et angle au centre

Triangle inscrit dans un cercle

Secteur circulaire et arc

Angle inscrit et angle au centre

Arc et secteur circulaire

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Problèmes sur le cercle

Tangente et propriétés du cercle

Problème de piste circulaire

Corde et diamètre — propriété de l'angle droit

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