Fonctions Linéaires — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

Chapitre 12 : Fonctions Linéaires

I. Définition

Une fonction linéaire est une fonction de la forme f(x) = ax, où a est une constante appelée coefficient directeur.

Exemples :

f(x) = 2x
f(x) = -3x
f(x) = 0.5x

II. Représentation graphique

La courbe d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine.

Pente (coefficient directeur a) :

Si a > 0 : fonction croissante (droite montante)
Si a < 0 : fonction décroissante (droite descendante)
Si a = 0 : fonction constante f(x) = 0 (axe des x)

III. Propriétés

Image : L'image de x par f est f(x) = ax

Antécédent : Pour trouver l'antécédent de y, on résout ax = y, donc x = y/a

Proportionnalité : Les fonctions linéaires représentent des situations de proportionnalité

IV. Fonction affine

Une fonction affine a la forme f(x) = ax + b, où a est la pente et b l'ordonnée à l'origine.

La courbe est une droite qui passe par le point (0, b).

🔑 Formules clés à retenir

Fonction linéaire : f(x) = ax
Fonction affine : f(x) = ax + b
Image : f(x) = ax
Antécédent : x = y/a

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Confondre image et antécédent — L'image de 3 par f, c'est f(3). L'antécédent de 6 par f, c'est le x tel que f(x) = 6.

❌

f(x) = 3x est linéaire, f(x) = 3x + 2 est affine — La fonction linéaire passe obligatoirement par l'origine (0, 0). Si b ≠ 0, c'est affine.

❌

Mal lire le graphique — La pente a se lit : monter de (y₂−y₁) pour avancer de (x₂−x₁). Ne pas inverser.

🟢 Astuces de pros

✅

Tracer rapidement : placer le point (0, b), puis utiliser la pente pour un 2ème point. Si a = 2, avancer de 1 en x et monter de 2 en y.

💡

Pour trouver l'équation d'une droite passant par deux points A et B : calculer a = (yB − yA)/(xB − xA), puis b = yA − a × xA.

Fonctions Linéaires — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

✏️ Exercices interactifs

14 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 14 corrigés

🟢 Exercices Faciles

5 exercices

Calculer l'image par une fonction linéaire

🟢 Facile

Énoncé

Soit f(x) = 3x. Calculer :
1. f(2)
2. f(-4)
3. f(0)

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

1. f(2) = 3 × 2 = 6
2. f(-4) = 3 × (-4) = -12
3. f(0) = 3 × 0 = 0

Tableau de valeurs et lecture graphique

🟢 Facile

Énoncé

Soit la fonction f(x) = -2x + 4.

Compléter le tableau de valeurs pour x ∈ {-2, -1, 0, 1, 2, 3}.
Pour quelle valeur de x a-t-on f(x) = 0 ?
La fonction est-elle croissante ou décroissante ? Pourquoi ?

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

f(-2) = 4 + 4 = 8 | f(-1) = 2 + 4 = 6 | f(0) = 4

f(1) = -2 + 4 = 2 | f(2) = -4 + 4 = 0 | f(3) = -6 + 4 = -2
f(x) = 0 ⇒ -2x + 4 = 0 ⇒ -2x = -4 ⇒ x = 2
Le coefficient directeur a = -2 < 0, donc f est décroissante.

Déterminer le coefficient directeur

🟢 Facile

Énoncé

La droite passe par A(0, -3) et B(2, 5). Trouver l'équation y = ax + b.
La droite passe par C(1, 4) et D(3, -2). Trouver a et b.
Une fonction affine vérifie f(2) = 8 et f(0) = 2. Donner son expression.

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

b = -3 (ordonnée à l'origine). a = (5 - (-3))/(2 - 0) = 8/2 = 4. y = 4x - 3
a = (-2 - 4)/(3 - 1) = -6/2 = -3. b = 4 - (-3)(1) = 7. y = -3x + 7
b = f(0) = 2. a = (f(2) - f(0))/(2 - 0) = (8 - 2)/2 = 3. f(x) = 3x + 2

Représentation graphique — tracer une fonction linéaire

🟢 Facile

Énoncé

Soit f(x) = 3x.

Compléter le tableau de valeurs pour x ∈ {−2, −1, 0, 1, 2, 3}.
Tracer la droite représentant f dans un repère orthogonal.
La droite passe-t-elle par l'origine ? Justifier.
Quel est le coefficient directeur ? La fonction est-elle croissante ou décroissante ?

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Tableau : x = −2 → −6 ; x = −1 → −3 ; x = 0 → 0 ; x = 1 → 3 ; x = 2 → 6 ; x = 3 → 9.
La droite passe par (0,0), (1,3), (2,6), etc.
Oui, toute fonction linéaire f(x) = ax passe par l'origine (f(0) = 0).
Coefficient directeur = 3. Comme 3 > 0, la fonction est croissante.

Lecture graphique — coefficient directeur

🟢 Facile

Énoncé

Une droite passe par les points O(0, 0) et A(4, 6).

Calculer le coefficient directeur de cette droite.
Écrire l'équation de la fonction linéaire correspondante.
Trouver f(10) et l'antécédent de 9.

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Coefficient directeur a = Δy/Δx = (6 − 0)/(4 − 0) = 6/4 = 3/2.
f(x) = (3/2)x.
f(10) = (3/2) × 10 = 15. Antécédent de 9 : (3/2)x = 9 ⇒ x = 9 × (2/3) = 6.

🟡 Exercices Intermédiaires

7 exercices

Trouver l'antécédent

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Soit f(x) = 2x. Trouver l'antécédent de :

8
-6
0

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

On résout f(x) = y, donc 2x = y, d'où x = y/2

f(x) = 8 ⇒ 2x = 8 ⇒ x = 4
f(x) = -6 ⇒ 2x = -6 ⇒ x = -3
f(x) = 0 ⇒ 2x = 0 ⇒ x = 0

Fonction affine

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Soit g(x) = 2x + 3. Calculer :

g(5)
g(-2)
L'antécédent de 9

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

g(5) = 2(5) + 3 = 10 + 3 = 13
g(-2) = 2(-2) + 3 = -4 + 3 = -1
g(x) = 9 ⇒ 2x + 3 = 9 ⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3

Déterminer une fonction depuis son graphe

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Une droite passe par les points A(0, 3) et B(2, 7).

Cette droite représente-t-elle une fonction linéaire ou affine ? Justifier.
Calculer le coefficient directeur a de cette droite.
Déterminer l'équation de la droite sous la forme y = ax + b.
Calculer l'image de x = 5.

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

La droite ne passe pas par l'origine (elle passe par (0, 3) donc ordonnée à l'origine = 3 ≠ 0). C'est donc une fonction affine.
a = (y_B - y_A) / (x_B - x_A) = (7 - 3) / (2 - 0) = 4/2 = 2
b = 3 (ordonnée à l'origine). Équation : y = 2x + 3
f(5) = 2 × 5 + 3 = 10 + 3 = 13

Intersection et comparaison de fonctions

🟡 Intermédiaire

Énoncé

On donne f(x) = 2x - 1 et g(x) = -x + 5.

Calculer f(3) et g(3). Laquelle est plus grande ?
Résoudre f(x) = g(x). Interpréter graphiquement.
Pour quelles valeurs de x a-t-on f(x) > g(x) ?

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

f(3) = 5, g(3) = 2. f(3) > g(3)
2x - 1 = -x + 5 ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 2. Les courbes se croisent en (2, f(2)) = (2, 3).
f(x) > g(x) ⇔ 3x > 6 ⇔ x > 2

Signe d'une fonction affine

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Pour chaque fonction, dresser le tableau de signes et résoudre l'inéquation :

f(x) = 3x - 9 ; résoudre f(x) ≥ 0
g(x) = -2x + 6 ; résoudre g(x) < 0
h(x) = 4x + 8 ; résoudre h(x) ≤ 0

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

3x - 9 = 0 ⇒ x = 3. f(x) ≥ 0 pour x ∈ [3 ; +∞[
-2x + 6 = 0 ⇒ x = 3. g décroissante, g(x) < 0 pour x ∈ ]3 ; +∞[
4x + 8 = 0 ⇒ x = -2. h(x) ≤ 0 pour x ∈ ]-∞ ; -2]

Problème de proportionnalité

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Le prix d'essence est proportionnel au volume acheté. Pour 8 litres, on paie 104 DH.

Écrire la fonction f(x) donnant le prix pour x litres.
Quel est le prix pour 15 litres ?
Combien de litres peut-on acheter avec 195 DH ?

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Prix proportionnel : f(x) = ax. a = 104/8 = 13. f(x) = 13x.
f(15) = 13 × 15 = 195 DH.
13x = 195 ⇒ x = 195/13 = 15 litres.

Fonctions linéaires et affines — comparaison

🟡 Intermédiaire

Énoncé

On considère f(x) = 2x (linéaire) et g(x) = 2x + 3 (affine).

Quelle est la différence entre une fonction linéaire et une fonction affine ?
Calculer f(5) et g(5). Expliquer l'écart.
Pour quelle valeur de x a-t-on f(x) = g(x) ? Que cela signifie-t-il graphiquement ?

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Une fonction linéaire f(x) = ax passe par l'origine. Une fonction affine g(x) = ax + b a une ordonnée à l'origine b ≠ 0. Les deux ont le même coefficient directeur ici (a = 2), mais g est décalée de 3 vers le haut.
f(5) = 10. g(5) = 13. Écart = 3 = b. La différence entre g et f est toujours 3 (c'est l'ordonnée à l'origine).
f(x) = g(x) ⇒ 2x = 2x + 3 ⇒ 0 = 3. Aucune solution : les deux droites sont parallèles (même coefficient directeur) et ne se coupent jamais.

🔴 Exercices Difficiles

2 exercices

Problème de proportionnalité et fonction

🔴 Difficile

Énoncé

Un taxi facture 5 DH de prise en charge plus 3 DH par kilomètre.

Exprimer le coût C en fonction du nombre de kilomètres x.
Calculer le coût pour 8 km.
Combien de kilomètres peut-on parcourir avec 50 DH ?
Un autre taxi facture 4 DH par km sans prise en charge. Pour quel nombre de kilomètres les deux taxis coûtent-ils le même prix ?

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

C(x) = 3x + 5 (fonction affine, a = 3, b = 5)
C(8) = 3 × 8 + 5 = 24 + 5 = 29 DH
3x + 5 = 50 ⇒ 3x = 45 ⇒ x = 15 km
Taxi 2 : C₂(x) = 4x

3x + 5 = 4x ⇒ 5 = x ⇒ x = 5 km

Pour 5 km, les deux taxis coûtent le même prix (20 DH).

Problème avancé : abonnement et consommation

🔴 Difficile

Énoncé

Un opérateur téléphonique propose deux formules :

Formule A : 80 DH/mois + 0,5 DH/min

Formule B : 20 DH/mois + 1,2 DH/min

Exprimer le coût mensuel de chaque formule en fonction de x (minutes).
Pour quel nombre de minutes les deux formules coûtent-elles le même prix ?
Quelle formule est avantageuse pour 100 minutes ? Pour 200 minutes ?

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

A(x) = 0,5x + 80. B(x) = 1,2x + 20
A(x) = B(x) ⇒ 0,5x + 80 = 1,2x + 20 ⇒ 60 = 0,7x ⇒ x ≈ 85,7 minutes
Pour 100 min : A = 130 DH, B = 140 DH → Formule A avantageuse. Pour 200 min : A = 180 DH, B = 260 DH → Formule A avantageuse.

Fonctions Linéaires

Fonctions Linéaires — Résumé de cours

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

Chapitre 12 : Fonctions Linéaires

I. Définition

II. Représentation graphique

III. Propriétés

IV. Fonction affine

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 Pièges classiques

🟢 Astuces de pros

Fonctions Linéaires — Fiche d'exercices

✏️ Exercices interactifs

🟢 Exercices Faciles

Calculer l'image par une fonction linéaire

Tableau de valeurs et lecture graphique

Déterminer le coefficient directeur

Représentation graphique — tracer une fonction linéaire

Lecture graphique — coefficient directeur

🟡 Exercices Intermédiaires

Trouver l'antécédent

Fonction affine

Déterminer une fonction depuis son graphe

Intersection et comparaison de fonctions

Signe d'une fonction affine

Problème de proportionnalité

Fonctions linéaires et affines — comparaison

🔴 Exercices Difficiles

Problème de proportionnalité et fonction

Problème avancé : abonnement et consommation

Quiz — Fonctions Linéaires