Repérage dans le plan — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

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Contenu du cours

I. Repère du plan

Un repère orthonormé (O ; $i$ , $j$ ) est formé d'un point O (origine) et de deux axes perpendiculaires de même unité :

L'axe des abscisses (Ox), horizontal.
L'axe des ordonnées (Oy), vertical.

Tout point M est repéré par ses coordonnées ( $x_{M}$ ; $y_{M}$ ).

II. Distance et milieu

Distance : $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$

Milieu : I de [AB] : $x_{I} = \frac{x _{A} + x _{B}}{2}$ , $y_{I} = \frac{y _{A} + y _{B}}{2}$

III. Équation d'une droite

Toute droite non verticale a une équation de la forme :

$y = a x + b$

où a est le coefficient directeur (pente) et b est l'ordonnée à l'origine.

Une droite verticale a pour équation $x = k$ (constante).

Une droite horizontale a pour équation $y = k$ .

Déterminer l'équation $y = a x + b$ d'une droite passant par $A (x_{1}, y_{1})$ et $B (x_{2}, y_{2})$ :

Calculer la pente : $a = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ .
Substituer un point : $b = y_{1} - a \cdot x_{1}$ .

IV. Pente et positions relatives

Deux droites $y = a x + b$ et $y = a^{'} x + b^{'}$ sont parallèles ssi $a = a^{'}$ (et $b \neq = b^{'}$ ).
Elles sont confondues ssi $a = a^{'}$ et $b = b^{'}$ .
Elles sont perpendiculaires ssi $a \times a^{'} = - 1$ .
Elles sont sécantes (non parallèles) ssi $a \neq = a^{'}$ . Le point d'intersection se trouve en résolvant $a x + b = a^{'} x + b^{'}$ .

V. Représentation graphique d'une droite

Pour tracer $y = a x + b$ :

Calculer deux points (par exemple $x = 0$ et $x = 1$ ).
Placer les deux points dans le repère.
Tracer la droite passant par ces deux points.

VI. Lecture graphique

Sur un graphique :

La pente $a = \frac{diff e ˊ rence des ordonn e ˊ es}{diff e ˊ rence des abscisses}$ entre deux points lus.
L'ordonnée à l'origine $b$ se lit à l'intersection avec l'axe (Oy).

📈 Figure clé

Coordonnées d'un point dans un repère

🔑 Formules clés à retenir

Équation droite : $y = a x + b$
Pente : $a = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$
Ordonnée à l'origine : $b = y - a x$
Parallèles $\Leftrightarrow$ même pente $a$
Perpendiculaires $\Leftrightarrow$ $a \times a^{'} = - 1$
Distance : $(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$
Milieu : $(\frac{x _{1} + x _{2}}{2}; \frac{y _{1} + y _{2}}{2})$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Calculer la pente dans le mauvais sens — a = $\frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ . Le numérateur c'est la différence des y, le dénominateur c'est la différence des x. Ne pas inverser.

❌

Confondre abscisse et ordonnée — Un point A(3, 5) : x = 3 (horizontal), y = 5 (vertical). Toujours : (x ; y), pas l'inverse.

❌

Perpendiculaires : $a \times a^{'} = - 1$ , pas $a = - a^{'}$ — Si une droite a la pente 2, la perpendiculaire a la pente $- \frac{1}{2}$ (pas −2).

🟢 Astuces de pros

✅

Trouver b rapidement : une fois a calculé, prendre n'importe quel point $(x_{1}, y_{1})$ et faire $b = y_{1} - a \times x_{1}$ . Vérifier avec le 2ème point.

💡

Pour la distance AB, ne pas oublier la racine carrée finale. $A B = ...$ , pas $A B^{2} = (...)$ .

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Repérage dans le plan

Type 1 : Lire les coordonnées d'un point

Quand ? Un point est placé dans un repère et on cherche ses coordonnées.

Pars du point et descends (ou monte) jusqu'à l'axe horizontal : tu lis l'abscisse $x$ .
Reviens au point et va jusqu'à l'axe vertical : tu lis l'ordonnée $y$ .
Écris les coordonnées dans l'ordre $(x; y)$ .

Exemple éclair : Un point situé à $3$ sur l'axe horizontal et $2$ sur l'axe vertical a pour coordonnées $A (3; 2)$ .

Type 2 : Placer un point connaissant ses coordonnées

Quand ? On connaît $(x; y)$ et on doit dessiner le point.

Repère l'abscisse $x$ sur l'axe horizontal.
Repère l'ordonnée $y$ sur l'axe vertical.
Le point est à l'intersection des deux traits.

Exemple éclair : Pour $B (- 2; 3)$ : on va à $- 2$ sur l'axe horizontal, puis à $3$ sur l'axe vertical.

Type 3 : Reconnaître un point sur un axe

Quand ? On veut savoir si un point est sur l'axe des abscisses ou des ordonnées.

Si l'ordonnée vaut $0$ ( $y = 0$ ), le point est sur l'axe horizontal.
Si l'abscisse vaut $0$ ( $x = 0$ ), le point est sur l'axe vertical.
Si $x = 0$ et $y = 0$ , le point est l'origine $O$ .

Exemple éclair : Le point $C (5; 0)$ est sur l'axe des abscisses ; le point $D (0; 4)$ est sur l'axe des ordonnées.

Type 4 : Calculer les coordonnées du milieu d'un segment

Quand ? On connaît deux points et on cherche le milieu du segment qui les relie.

Additionne les abscisses et divise par $2$ .
Additionne les ordonnées et divise par $2$ .
Le milieu $I$ a pour coordonnées $(\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2})$ .

Exemple éclair : Pour $A (2; 4)$ et $B (6; 8)$ : le milieu est $I (\frac{2 + 6}{2}; \frac{4 + 8}{2}) = I (4; 6)$ .

Type 5 : Identifier le quadrant d'un point

Quand ? On veut situer rapidement un point selon le signe de ses coordonnées.

Regarde le signe de l'abscisse $x$ et de l'ordonnée $y$ .
$x > 0$ et $y > 0$ : en haut à droite ; $x < 0$ et $y > 0$ : en haut à gauche.
$x < 0$ et $y < 0$ : en bas à gauche ; $x > 0$ et $y < 0$ : en bas à droite.

Exemple éclair : Le point $E (- 3; - 1)$ a $x < 0$ et $y < 0$ : il est en bas à gauche.

Repérage dans le plan — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

55 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 55 corrigés

Exercices Faciles

20 exercices

Lire et placer des points

Facile

Énoncé

Dans un repère : A(3, 2), B(−1, 4), C(0, −3), D(−2, −1). Dans quel quadrant se trouve chaque point ?

Ma réponse

Repérage dans le plan

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I. Repère du plan

II. Distance et milieu

III. Équation d'une droite

IV. Pente et positions relatives

V. Représentation graphique d'une droite

VI. Lecture graphique

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 Pièges classiques

🟢 Astuces de pros

Méthodes types

Méthodes types — Repérage dans le plan

Type 1 : Lire les coordonnées d'un point

Type 2 : Placer un point connaissant ses coordonnées

Type 3 : Reconnaître un point sur un axe

Type 4 : Calculer les coordonnées du milieu d'un segment

Type 5 : Identifier le quadrant d'un point

Repérage dans le plan — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Lire et placer des points

Lecture de coordonnées et milieu

Équation de droite — pente et ordonnée à l'origine

Équation d'une droite

Tracer une droite

Distance et milieu

Coordonnées d'un point

Coordonnées d'un point

Milieu d'un segment

Repérage d'un point

Équation d'une droite

Repérage de points

Milieu d'un segment

Coordonnées d'un point

Milieu d'un segment

Calcul de distance

Repérage de points

Calcul de la distance

Distance entre deux points

Milieu d'un segment

Exercices Intermédiaires

Droites parallèles et perpendiculaires

Image par une translation dans un repère

Droites parallèles et perpendiculaires

Intersection de deux droites

Nature d'un triangle

Équation de la médiatrice

Pente de deux droites

Positions relatives de droites

Point d'intersection de deux droites

Distance d'un point à une droite

Équation d'une droite

Position relative de deux droites

Intersection de deux droites

Position relative de deux droites

Position relative de deux droites

Intersection de deux droites

Intersection de deux droites

Équation d'une droite

Exercices Difficiles

Périmètre d'un quadrilatère

Problème — carte géographique

Lecture de graphique — droite affine

Droite et alignement

Équation d'une droite à partir de deux points

Démonstration de perpendicularité

Problème de repérage

Équation d'une droite par deux points

Équation d'une droite perpendiculaire

Problème de repérage dans la ville

Équation de la droite passant par deux points

Distance entre un point et une droite

Distance entre deux villes

Problème de construction

Problème de distance