Repérage dans le plan

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Repérage dans le plan — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

I. Repère du plan

Un repère orthonormé (O ; i→, j→) est formé d'un point O (origine) et de deux axes perpendiculaires de même unité :

  • L'axe des abscisses (Ox), horizontal.
  • L'axe des ordonnées (Oy), vertical.

Tout point M est repéré par ses coordonnées (xM ; yM).

II. Distance et milieu

Distance : AB = √((xB−xA)² + (yB−yA)²)

Milieu : I de [AB] : xI = (xA+xB)/2, yI = (yA+yB)/2

III. Équation d'une droite

Toute droite non verticale a une équation de la forme :

y = ax + b

où a est le coefficient directeur (pente) et b est l'ordonnée à l'origine.

Une droite verticale a pour équation x = k (constante).

Une droite horizontale a pour équation y = k.

Déterminer l'équation y = ax + b d'une droite passant par A(x₁,y₁) et B(x₂,y₂) :

  1. Calculer la pente : a = (y₂−y₁)/(x₂−x₁).
  2. Substituer un point : b = y₁ − a·x₁.

IV. Pente et positions relatives

  • Deux droites y = ax + b et y = a'x + b' sont parallèles ssi a = a' (et b ≠ b').
  • Elles sont confondues ssi a = a' et b = b'.
  • Elles sont perpendiculaires ssi a × a' = −1.
  • Elles sont sécantes (non parallèles) ssi a ≠ a'. Le point d'intersection se trouve en résolvant ax + b = a'x + b'.

V. Représentation graphique d'une droite

Pour tracer y = ax + b :

  1. Calculer deux points (par exemple x = 0 et x = 1).
  2. Placer les deux points dans le repère.
  3. Tracer la droite passant par ces deux points.

VI. Lecture graphique

Sur un graphique :

  • La pente a = (différence des ordonnées)/(différence des abscisses) entre deux points lus.
  • L'ordonnée à l'origine b se lit à l'intersection avec l'axe (Oy).

🔑 Formules clés à retenir

  • Équation droite : y = ax + b
  • Pente : a = (y₂−y₁)/(x₂−x₁)
  • Ordonnée à l'origine : b = y − ax
  • Parallèles ⇔ même pente a
  • Perpendiculaires ⇔ a × a' = −1
  • Distance : √((x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²)
  • Milieu : ((x₁+x₂)/2 ; (y₁+y₂)/2)
⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Calculer la pente dans le mauvais sens — a = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). Le numérateur c'est la différence des y, le dénominateur c'est la différence des x. Ne pas inverser.

❌

Confondre abscisse et ordonnée — Un point A(3, 5) : x = 3 (horizontal), y = 5 (vertical). Toujours : (x ; y), pas l'inverse.

❌

Perpendiculaires : a × a' = −1, pas a = −a' — Si une droite a la pente 2, la perpendiculaire a la pente −1/2 (pas −2).

🟢 Astuces de pros

✅

Trouver b rapidement : une fois a calculé, prendre n'importe quel point (x₁, y₁) et faire b = y₁ − a × x₁. Vérifier avec le 2ème point.

💡

Pour la distance AB, ne pas oublier la racine carrée finale. AB = √(...), pas AB² = (...).