AB=CD si et seulement si les deux vecteurs ont la même direction, le même sens et la même norme. Géométriquement, ABDC est un parallélogramme (ou les segments sont identiques).
III. Coordonnées d'un vecteur
Dans un repère (O;i,j), si A(xA,yA) et B(xB,yB), alors :
AB=(xB−xA;yB−yA)
Norme : ∥AB∥=(xB−xA)2+(yB−yA)2
IV. Opérations sur les vecteurs
Addition — règle de Chasles :AB+BC=AC.
En coordonnées : si u(x,y) et v(x′,y′), alors u+v=(x+x′,y+y′).
Multiplication par un scalaire :k⋅u(x,y)=(kx,ky). ∥k⋅u∥=∣k∣⋅∥u∥.
Opposé :−AB=BA.
V. Colinéarité
u(x,y) et v(x′,y′) sont colinéaires ssi :
xy′−yx′=0
Application : A, B, C alignés ⇔AB et AC colinéaires.
VI. Translation
La translation de vecteur u(a,b) transforme M(x,y) en M′(x+a,y+b). On a MM′=u.
📈 Figure clé
Vecteurs et translation
🔑 Formules clés à retenir
AB=(xB−xA;yB−yA)
Chasles : AB+BC=AC
u+v=(x+x′;y+y′)
∥u∥=x2+y2
Colinéaires ⇔ xy′−yx′=0
Translation : M′(x+a;y+b)
⚠️
Astuces & Pièges à éviter
Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !
🔴 Pièges classiques
❌
AB=B−A, pas A−B — AB=(xB−xA;yB−yA). C'est les coordonnées de B moins les coordonnées de A. L'ordre compte !
❌
AB=BA — Ces deux vecteurs sont opposés : BA=−AB. Même longueur, sens contraire.
❌
ABCD parallélogramme ⇔AB=DC (pas CD). Attention à l'ordre des lettres dans la condition.
🟢 Astuces de pros
✅
Règle de Chasles : visualiser comme un chemin. AB+BC=AC : on part de A, on passe par B, on arrive en C. Le B « se simplifie ».
💡
Pour vérifier que 4 points forment un parallélogramme, calculer les milieux des diagonales. Si les milieux coïncident → parallélogramme.
🧭
Méthodes types
Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.
Méthodes types — Vecteurs du plan
Type 1 : Reconnaître une translation
Quand ? Une figure est déplacée sans tourner ni se déformer : c'est une translation.
Vérifie que la figure a glissé en gardant la même taille et la même orientation.
Le déplacement est donné par un vecteur u (direction, sens et longueur).
Chaque point M a une image M′ telle que MM′=u.
Exemple éclair : Si A a pour image A′ par la translation de vecteur u, alors AA′=u.
Type 2 : Montrer l'égalité de deux vecteurs
Quand ? On veut prouver que AB=CD.
Deux vecteurs sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même longueur.
Astuce : AB=CD équivaut à dire que ABDC est un parallélogramme.
Vérifie donc que ABDC est un parallélogramme.
Exemple éclair : Si ABDC est un parallélogramme, alors AB=CD.
Type 3 : Construire l'image d'un point par translation
Quand ? On connaît un point M et le vecteur u, on cherche l'image M′.
Place le vecteur u avec son origine en M.
Reporte la même direction, le même sens et la même longueur.
L'extrémité obtenue est le point image M′, avec MM′=u.
Exemple éclair : Si u va de 3 vers la droite, l'image de M se trouve 3 unités à droite de M.
Type 4 : Additionner deux vecteurs (relation de Chasles)
Quand ? On veut simplifier ou calculer une somme de vecteurs qui se suivent.
Repère que l'extrémité du premier vecteur est l'origine du second.
Applique la relation de Chasles : AB+BC=AC.
Le vecteur somme relie le premier point de départ au dernier point d'arrivée.
Exemple éclair :AB+BC=AC : on part de A et on arrive en C.
Type 5 : Additionner deux vecteurs (règle du parallélogramme)
Quand ? Les deux vecteurs partent du même point A.
Place AB et AC ayant la même origine A.
Construis le parallélogramme ABDC.
La somme est la diagonale : AB+AC=AD.
Exemple éclair : Si ABDC est un parallélogramme, alors AB+AC=AD.
Vecteurs du plan — Fiche d'exercices
1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus
Exercices interactifs
59 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction
Bloqué sur cet exercice ? Prof Hicham t'explique pas à pas.
Correction détaillée
54
Problème de déplacement
Difficile
Corrigé
Énoncé
Un homme part de la ville A(0, 0) et se déplace vers B(4, 3) puis vers C(7, 8). Calculez le vecteur total de son déplacement AC en utilisant les vecteurs AB et BC.
Bloqué sur cet exercice ? Prof Hicham t'explique pas à pas.
Correction détaillée
55
Distance entre deux villes
Difficile
Corrigé
Énoncé
Considérons deux villes, A et B, situées respectivement aux coordonnées A(2, 3) et B(8, 7) dans un repère orthonormé. On veut déterminer la distance entre A et B ainsi que le vecteur AB. Ensuite, on souhaite savoir si le vecteur AB est colinéaire au vecteur AC, où C est le point C(10, 9).
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Correction détaillée
56
Déplacement dans un plan
Difficile
Corrigé
Énoncé
Un bateau part du port de Casablanca (point O(0, 0)) et se déplace selon le vecteur OA → = (4, 3). Ensuite, il change de direction et se déplace selon le vecteur AB → = (1, -2). Trouvez les coordonnées du point B et déterminez si le vecteur OB → est colinéaire au vecteur OA →.
Bloqué sur cet exercice ? Prof Hicham t'explique pas à pas.
Correction détaillée
57
Translation et vecteurs
Difficile
Corrigé
Énoncé
Considérons un triangle avec les points A(1, 1), B(3, 4) et C(5, 2). Appliquez la translation de vecteur T → = (2, 3) à chaque point et déterminez les nouvelles coordonnées des points A', B' et C'. Ensuite, montrez que les vecteurs AB → et A'B' → sont égaux.
Combien d'exercices corrigés de Vecteurs du plan sont disponibles ?+
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Comment réviser le chapitre Vecteurs du plan en 2ème Année Collège ?+
Commence par le résumé de cours et les formules clés, puis entraîne-toi sur les exercices corrigés et les 10 quiz pour vérifier ta compréhension, et termine par un examen blanc chronométré.
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Oui, Vecteurs du plan fait partie du programme officiel de 2ème Année Collège au Maroc et tombe régulièrement aux examens nationaux.
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