2.3 Factoriser une somme ou une différence

Définition

Factoriser, c'est transformer une somme ou une différence en produit.

Règle

$k$, $a$ et $b$ désignent des nombres.

$$ka+kb=k(a+b)ka-kb=k(a-b)a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$

Exemples : $6x+18=6\times x+6\times 3=6\times (x+3)=6(x+3)$, $7x^2-2x=x(7x-2)$.

Proposition

$$x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$$

$$ac{x}^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)$$

Proposition

$$a^4-b^4=(a-b)(a^3+a^{2}b+a{b}^2+b^3)$$

$$a^5-b^5=(a-b)(a^4+a^{3}b+a^2{b}^2+a{b}^3+b^4)$$

$$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots +a{b}^{n-2}+b^{n-1})\text{ pour tout }n$$

$$a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\cdots -a{b}^{n-2}+b^{n-1})\text{ pour tout }n\text{ impair}$$

$$(a_1+a_2+\cdots +a_n{)}^2=a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2+2a_1{a}_2+2a_1{a}_3+\cdots +2a_1{a}_n+2a_2{a}_3+\cdots +2a_2{a}_n+\cdots +2a_{n-1}{a}_n$$

Justification : On a $(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots +a{b}^{n-2}+b^{n-1})=(a^n+a^{n-1}b+\cdots +a^2{b}^{n-2}+a{b}^{n-1})-(a^{n-1}b+a^{n-2}{b}^2+\cdots +a{b}^{n-1}+b^n)=a^n-b^n$.

Pour $n$ impair, et en remplaçant $b$ par $-b$ on déduit que : $a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\cdots -a{b}^{n-2}+b^{n-1})$.

Proposition

$$a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab=(a-b{)}^2+2ab$$

$$(a+b{)}^2-(a-b{)}^2=4ab$$

$$a^3+b^3=(a+b{)}^3-3ab(a+b)$$

$$a^3-b^3=(a-b{)}^3+3ab(a-b)$$

Théorème (Identité d'Euler)

Soient $a$, $b$ et $c$ des nombres réels, alors on a :

$$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=(a+b+c)\cdot \frac{(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2}{2}$$

En particulier, si $a+b+c=0$, ou si $a=b=c$ alors :

$$a^3+b^3+c^3=3abc$$

Démonstration :

En effet, on a :

$$a^3+b^3+c^3-3abc=(a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3)+c^3-3a^{2}b-3a{b}^2-3abc$$

$$=(a+b{)}^3+c^3-3ab(a+b+c)$$

$$=[(a+b)+c][(a+b{)}^2-(a+b)c+c^2]-3ab(a+b+c)$$

$$=(a+b+c)(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2)-3ab(a+b+c)$$

$$=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab-bc-ca-3ab)$$

$$=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$$

$$=(a+b+c)\cdot \frac{(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2}{2}$$

Exemple

Factoriser l'expression : $(x-y{)}^3+(y-z{)}^3+(z-x{)}^3$.

Puisque $(x-y)+(y-z)+(z-x)=0$, alors par le théorème on a :

$$(x-y{)}^3+(y-z{)}^3+(z-x{)}^3=3(x-y)(y-z)(z-x)$$

Exemple

Factoriser l'expression : $(x+2y-3z{)}^3+(y+2z-3x{)}^3+(z+2x-3y{)}^3$.

Puisque $(x+2y-3z)+(y+2z-3x)+(z+2x-3y)=0$, alors par le théorème on a :

$$(x+2y-3z{)}^3+(y+2z-3x{)}^3+(z+2x-3y{)}^3=3(x+2y-3z)(y+2z-3x)(z+2x-3y)$$

Exemple

Montrer que si $x$, $y$, $z$ sont des réels distincts alors $\sqrt[3]{x-y}+\sqrt[3]{y-z}+\sqrt[3]{z-x}\ne 0$.

Posons $a=\sqrt[3]{x-y}$, $b=\sqrt[3]{y-z}$ et $c=\sqrt[3]{z-x}$. Si $a+b+c=0$, alors on sait que $a^3+b^3+c^3=3abc$, mais alors :

$$0=(x-y)+(y-z)+(z-x)=a^3+b^3+c^3=3abc=3\cdot \sqrt[3]{x-y}\sqrt[3]{y-z}\sqrt[3]{z-x}\ne 0,\text{ absurde}$$

Exemple

Soit $r$ un nombre réel tel que $\sqrt[3]{r}-\frac{1}{\sqrt[3]{r}}=1$. Déterminer les valeurs de $r-\frac{1}{r}$ et $r^3-\frac{1}{r^3}$.

En posant $a=\sqrt[3]{r}$, $b=-\frac{1}{\sqrt[3]{r}}$ et $c=-1$, alors $a+b+c=0$, par suite :

$$r-\frac{1}{r}-1=3\cdot \sqrt[3]{r}\cdot \left(-\frac{1}{\sqrt[3]{r}}\right)\cdot (-1)=3$$

Par conséquent, $r-\frac{1}{r}=4$. De même, $r^3-\frac{1}{r^3}-4^3=3r\left(-\frac{1}{r}\right)(-4)=12$. En conclusion, $r^3-\frac{1}{r^3}=76$.

Exemple

Factoriser l'expression $E={\left(d^2-c^2+a^2-b^2\right)}^2-4(bc-da{)}^2$.

Comme $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$, alors :

$$E={\left(d^2-c^2+a^2-b^2\right)}^2-(2bc-2da{)}^2$$

$$=\left(d^2-c^2+a^2-b^2-2bc+da\right)\left(d^2-c^2+a^2-b^2+2bc-2da\right)$$

$$=\left[(d+a{)}^2-(b+c{)}^2\right]\cdot \left[(d-a{)}^2-(b-c{)}^2\right]$$

$$=(d+a-b-c)(d+a+b+c)(d+b-a-c)(d+c-a-b)$$

Exemple

Factoriser l'expression $64x^6-729y^{12}$.

Comme $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, alors :

$$64x^6-729y^{12}=(2x{)}^6-(3y^2{)}^6=\left[(2x{)}^3-(3y^2{)}^3\right]\left[(2x{)}^3+(3y^2{)}^3\right]$$

$$=(2x-3y^2)\left[(2x{)}^2+(2x)(3y^2)+(3y^2{)}^2\right]\cdot (2x+3y^2)\left[(2x{)}^2-(2x)(3y^2)+(3y^2{)}^2\right]$$

$$=\left(2x-3y^2\right)\left(2x+3y^2\right)\left(4x^2+6x{y}^2+9y^4\right)\left(4x^2-6x{y}^2+9y^4\right)$$

Exemple

Factoriser l'expression $E=2a^3+6a^2+6a+18$.

On a :

$$E=2\left[(a^3+3a^2+3a+1)+8\right]=2\left[(a+1{)}^3+2^3\right]$$

$$=2(a+3)\left[(a+1{)}^2-2(a+1)+4\right]=2(a+3)(a^2+3)$$

Exemple

Factoriser les expressions $A=x^4+2x^3+7x^2+6x-7$; $B=x^3+9x^2+23x+15$.

Posons $y=x^2+x$, alors :

$$A=x^2(x^2+x)+x(x^2+x)+6(x^2+x)-7=(x^2+x+6)(x^2+x)-7$$

$$=y^2+6y-7=(y+7)(y-1)=(x^2+x+7)(x^2+x-1)$$

$$B=x^2(x+1)+8x(x+1)+15(x+1)=(x+1)(x^2+8x+15)$$

$$=(x+1)(x+3)(x+5)$$

Exemple

Factoriser les expressions $A=(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)-120$; $B=x^5+x+1$.

On a :

$$A=[(a+1)(a+4)]\cdot [(a+2)(a+3)]-120=(a^2+5a+4)(a^2+5a+6)-120$$

$$=\left[a^2+5a+5-1\right]\cdot \left[a^2+5a+5+1\right]-120=(a^2+5a+5{)}^2-121$$

$$={\left(a^2+5a+5\right)}^2-11^2=(a^2+5a+6)(a^2+5a+16)$$

$$=(a-1)(a+6)(a^2+5a+16)$$

$$B=\left(x^5-x^2\right)+\left(x^2+x+1\right)=x^2\left(x^3-1\right)+\left(x^2+x+1\right)$$

$$=x^2(x-1)(x^2+x+1)+(x^2+x+1)=(x^2+x+1)\left[x^2(x-1)+1\right]$$

$$=\left(x^2+x+1\right)\left(x^3-x^2+1\right)$$

Exemple

Factoriser l'expression $E=(2y-3z{)}^3+(3z-4x{)}^3+(4x-2y{)}^3$.

Posons $a=2y-3z$, $b=3z-4x$ et $c=4x-2y$, alors $a+b+c=0$ et on a :

$$E=a^3+b^3+c^3=\left(a^3+b^3+c^3-3abc\right)+3abc$$

$$=(a+b+c)\left(a^2+b^2+c^2-bc-ca-ab\right)+3abc=3abc$$

$$=3(2y-3z)(3z-4x)(4x-2y)$$

Exemple

Factoriser l'expression $E=(3a+3b-18ab)(3a+3b-2)+(1-9ab{)}^2$.

L'expression $E$ est invariante si on interchange les termes $3a$ et $3b$, on pose alors $u=3a+3b$ et $v=3a\cdot 3b$ pour simplifier, on ainsi :

$$E=(u-2v)(u-2)+(1-v{)}^2=u^2-2uv-2u+4v+v^2-2v+1$$

$$=\left(u^2-2uv+v^2\right)+2(v-u)+1=(v-u{)}^2+2(v-u)+1=(v-u+1{)}^2$$

$$=(9ab-3a-3b+1{)}^2=[(3a-1)(3b-1){]}^2=(3a-1{)}^2(3b-1{)}^2$$

2.4 Quelques identités. Applications

Proposition

$$x^2+y^2+xy=\frac{x^2+y^2+(x+y{)}^2}{2}$$

$$x^2+y^2-xy=\frac{x^2+y^2+(x-y{)}^2}{2}$$

$$x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx=\frac{(x+y{)}^2+(y+z{)}^2+(z+x{)}^2}{2}$$

$$x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=\frac{(x-y{)}^2+(y-z{)}^2+(z-x{)}^2}{2}$$

$$(x-y)(y-z)(z-x)=x{y}^2+y{z}^2+z{x}^2-\left(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x\right)$$

$$x^2+y^2+z^2+3(xy+yz+zx)=(x+y)(y+z)+(y+z)(z+x)+(z+x)(x+y)$$

$$xy+yz+zx-\left(x^2+y^2+z^2\right)=(x-y)(y-z)+(y-z)(z-x)+(z-x)(x-y)$$

$$(x-y{)}^2+(y-z{)}^2+(z-x{)}^2=2\left[(x-y)(x-z)+(y-z)(y-x)+(z-x)(z-y)\right]$$

Exemple

Calculer la valeur de $A=(2+1)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\cdots \left(2^{2^{10}}+1\right)+1$.

Puisque $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, alors on déduit successivement que :

$$A=(2-1)(2+1)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\cdots \left(2^{2^{10}}+1\right)+1$$

$$=\left(2^2-1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\cdots \left(2^{2^{10}}+1\right)+1=\left(2^4-1\right)\left(2^4+1\right)\cdots \left(2^{2^{10}}+1\right)+1$$

= \cdots = \left(2^{2^{10}} - 1\right)\left(2^{2^{10}} + 1\right) + 1 = \left(2^{2 \cdot 2^{10}} ight)^2 - 1 + 1

$$=2^{2\cdot 2^{10}}=2^{2^{11}}=2^{2048}$$

Exemple

Si $x-y=8$ et $xy=-15$, déterminer la valeur de $(x+y{)}^2$ et $x^4+y^4$.

$$(x+y{)}^2=x^2+y^2+2xy=(x^2+y^2-2xy)+4xy=(x-y{)}^2+4xy$$

$$=8^2+4(-15)=4$$

$$x^4+y^4=(x^4+2x^2{y}^2+y^4)-2x^2{y}^2=(x^2+y^2{)}^2-2(xy{)}^2$$

$$={\left[(x^2-2xy+y^2)+2xy\right]}^2-2(-15{)}^2$$

$$={\left[(x-y{)}^2-30\right]}^2-2(-15{)}^2=34^2-2(225)=1156-450=706$$

Exemple

Si $x+\frac{1}{x}=3$, déterminer la valeur de $x^3+\frac{1}{x^3}$ et $x^4+\frac{1}{x^4}$.

On a :

$$x^3+\frac{1}{x^3}=\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x^2+\frac{1}{x^2}-1\right)=3\left[{\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2-3\right]=3\left(3^2-3\right)=18$$

De même

$$x^4+\frac{1}{x^4}=\left[{\left(x^2\right)}^2+2+{\left(\frac{1}{x^2}\right)}^2\right]-2={\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)}^2-2={\left[{\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2-2\right]}^2-2=(3^2-2{)}^2-2=47$$

Exemple

Si $x+y=\frac{5}{2}$ et $x^2+y^2=\frac{13}{4}$, déterminer la valeur de $x^5+y^5$.

L'égalité $(x^2+y^2)(x^3+y^3)=(x^5+y^5)+(xy{)}^2(x+y)$ implique que :

$$(x^5+y^5)=\frac{13}{4}(x+y)\left(x^2+y^2-xy\right)-\frac{5}{2}(xy{)}^2=\frac{65}{8}\left(\frac{13}{4}-xy\right)-\frac{5}{2}(xy{)}^2$$

Il suffit alors de trouver la valeur de $xy$. On a :

$$xy=\frac{1}{2}\left[(x+y{)}^2-(x^2+y^2)\right]=\frac{1}{2}\left(\frac{25}{4}-\frac{13}{4}\right)=\frac{3}{2}$$

et par suite

$$x^5+y^5=\frac{65}{8}\left(\frac{13}{4}-\frac{3}{2}\right)-\frac{5}{2}\cdot \frac{9}{4}=\frac{455-180}{32}=\frac{275}{32}$$

Exemple

On suppose que les nombres réels $x$, $y$ et $z$ vérifient le système d'équations :

$$\{\begin{array}{l}x+y+z=6\\ x^2+y^2+z^2=26\\ x^3+y^3+z^3=90\end{array}$$

Déterminer la valeur de $xyz$ et de $x^4+y^4+z^4$.

La relation $(x+y+z{)}^2=(x^2+y^2+z^2)+2(xy+yz+zx)$ implique que

$$xy+yz+zx=\frac{1}{2}\left[(x+y+z{)}^2-(x^2+y^2+z^2)\right]=\frac{1}{2}\left[6^2-26\right]=5$$

Comme $x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)\left[(x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx)\right]$, alors on déduit que

$$90-3xyz=6(26-5)=126$$

et par suite $xyz=\frac{1}{3}(90-126)=-12$. D'autre part, on a :

$$x^4+y^4+z^4=(x^2+y^2+z^2{)}^2-2(x^2{y}^2+y^2{z}^2+z^2{x}^2)$$

$$=26^2-2\left[(xy+yz+zx{)}^2-2(x{y}^{2}z+y{z}^{2}x+x^{2}yz)\right]$$

$$=26^2-2\left[5^2-2xyz(x+y+z)\right]$$

$$=26^2-2(25+24\cdot 6)=676-338=338$$

Exemple

Soient $a$, $b$ et $c$ des nombres réels. Déterminer la valeur minimale de l'expression $A=3a^2+27b^2+5c^2-18ab-30c+237$.

On a

$$A=(3a^2-18ab+27b^2)+(5c^2-30c+45)+192$$

$$=3(a^2-6ab+9b^2)+5(c^2-6c+9)+192$$

$$=3(a-3b{)}^2+5(c-3{)}^2+192\ge 192$$

Finalement, avec $a=3b$, $c=3$ on a $A=192$. En conclusion la valeur minimale de $A$ est $192$.

Exemple

Si $a,b,c,d>0$ et $a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd$, montrer que $a=b=c=d$.

La condition de l'exemple peut se réécrire comme $a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd=0$. Alors on a :

$$0=a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd$$

$$=(a^4-2a^2{b}^2+b^4)+(c^4-2c^2{d}^2+d^4)+(2a^2{b}^2+2c^2{d}^2-4abcd)$$

$$=(a^2-b^2{)}^2+(c^2-d^2{)}^2+2(ab-cd{)}^2$$

Par suite $a^2-b^2=0$, $c^2-d^2=0$ et $ab-cd=0$. Comme $a,b,c,d>0$, alors $a=b$, $c=d$, et $a^2=c^2$, i.e., $a=c$. En conclusion, $a=b=c=d$.

Exemple

Si $a+b=c+d$ et $a^3+b^3=c^3+d^3$, montrer que : $a^{2021}+b^{2021}=c^{2021}+d^{2021}$.

La relation $a+b=c+d$ implique $(a+b{)}^3=(c+d{)}^3$, par suite

$$a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3=c^3+3c^{2}d+3c{d}^2+d^3$$

Comme $a^3+b^3=c^3+d^3$, alors on déduit que

$$3a^{2}b+3a{b}^2=3c^{2}d+3c{d}^2\text{ c’est-aˋ-dire }3ab(a+b)=3cd(c+d)$$

• Si $a+b=c+d=0$, alors $b=-a$, $d=-c$ et alors $a^{2021}+b^{2021}=0=c^{2021}+d^{2021}$.
• Si $a+b=c+d\ne 0$, alors $ab=cd$, par suite $$(a-b{)}^2=(a+b{)}^2-4ab=(c+d{)}^2-4cd=(c-d{)}^2$$

  Si $a-b=c-d$, alors comme $a+b=c+d$, on déduit que $a=c$, et de même $b=d$.

  Si $a-b=-(c-d)$, alors comme $a+b=c+d$, on déduit que $a=d$, et de même $b=c$.

En conclusion, on a toujours $a^{2021}+b^{2021}=c^{2021}+d^{2021}$.

Comme $x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)\left[(x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx)\right]$, alors on déduit que

$$90-3xyz=6(26-5)=126$$

et par suite $xyz=\frac{1}{3}(90-126)=-12$. D'autre part, on a :

$$x^4+y^4+z^4=(x^2+y^2+z^2{)}^2-2(x^2{y}^2+y^2{z}^2+z^2{x}^2)$$

$$=26^2-2\left[(xy+yz+zx{)}^2-2xyz(x+y+z)\right]$$

$$=26^2-2\left[5^2-2xyz(x+y+z)\right]$$

$$=26^2-2(25+24\cdot 6)=676-338=338$$

Théorème (Inégalité de Radon)

Soient $a$, $b$, $x$ et $y$ des nombres réels avec $x$ et $y$ non nuls. Alors on a :

$$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}-\frac{(a+b{)}^2}{x+y}=\frac{(ay-bx{)}^2}{xy(x+y)}$$

En particulier, on a l'inégalité de Radon : pour $a\in \mathbb{R}$, $b\in \mathbb{R}$, $x>0$ et $y>0$ on a

$$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge \frac{(a+b{)}^2}{x+y}$$

Démonstration :

En effet on a :

$$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}-\frac{(a+b{)}^2}{x+y}=\frac{a^{2}y(x+y)+b^{2}x(x+y)-xy(a+b{)}^2}{xy(x+y)}$$

$$=\frac{a^2{y}^2+b^2{x}^2-2xyab}{xy(x+y)}=\frac{(ay-bx{)}^2}{xy(x+y)}$$

Si $x>0$ et $y>0$, alors on déduit facilement l'inégalité de Radon.

Johann Radon (1887-1956) est un mathématicien autrichien. Il a démontré une inégalité plus générale que celle présentée dans ce théorème en 1913. La version présentée ici est celle de Bergström qui date de 1949. Dans la littérature on trouve des fois aussi le nom de lemme de Titu en référence à Titu Andreescu.

Théorème (Identité de Sophie Germain)

Pour tout réels $x$ et $y$ on a :

$$x^4+4y^4=\left(x^2+2y^2+2xy\right)\left(x^2+2y^2-2xy\right)$$

Démonstration :

En effet on a :

$$x^4+4y^4=x^4+4x^2{y}^2+4y^4-4x^2{y}^2={\left(x^2+2y^2\right)}^2-(2xy{)}^2=\left(x^2+2y^2+2xy\right)\left(x^2+2y^2-2xy\right)$$

Exemple

Pour tout entier $n$, le nombre $n^4-22n^2+9$ n'est pas premier.

En effet, l'idée est de factoriser l'expression donnée comme suit :

$$n^4-22n^2+9=\left(n^4-22n^2+121\right)-112={\left(n^2-11\right)}^2-112$$

Cependant $112$ n'est pas un carré parfait, on doit alors chercher une autre factorisation :

$$n^4-22n^2+9=\left(n^4-6n^2+9\right)-16n^2={\left(n^2-3\right)}^2-16n^2$$

$$={\left(n^2-3\right)}^2-(4n{)}^2=\left(n^2-3+4n\right)\left(n^2-3-4n\right)$$

$$=\left[(n+2{)}^2-7\right]\cdot \left[(n-2{)}^2-7\right]$$

Aucun des deux facteurs ci-dessus n'est égal à $\pm 1$, donc $n^4-22n^2+9$ n'est pas un nombre premier.

Exemple

Déterminer toutes les paires $(m,n)$ d'entiers strictement positifs telles que : $|3^m-2^n|=1$.

Si $m=1$ ou $m=2$, il est facile de voir que $(m,n)=(1,1),(1,2),(2,3)$ sont des solutions. On va montrer que ce sont les seules solutions.

Si $(m,n)$ est une solution de $|3^m-2^n|=1$ avec $m>2$, alors $n>3$.

• Si $3^m-2^n=-1$ avec $n>3$, alors $8$ divise $3^m+1$. Or, si on divise $3^m$ par $8$ on obtient comme reste $1$ ou $3$ selon que $n$ est impair ou pair. Donc, pas de solutions dans ce cas.
• Si $3^m-2^n=1$ avec $m\ge 3$, alors $n\ge 5$ puisque $2^n+1=3^m\ge 27$. D'où $3^m-1$ est divisible par $8$, donc $m$ est pair. On écrit $m=2k$ avec $k>1$. Ainsi, $2^n=3^{2k}-1=(3^k+1)(3^k-1)$, donc $3^k+1=2^r$ pour un $r>3$. Or le cas précédent nous apprend que ceci est impossible, donc pas de solutions dans ce cas aussi.