3.2 Calculs avec les racines carrées

Propriété

Pour tous les nombres positifs $a$ et $b$ : $$\sqrt{a}\times \sqrt{b}=\sqrt{a\times b}.$$ Le produit des racines carrées de deux nombres positifs est égal à la racine carrée du produit de ces deux nombres.

Exemples : $\sqrt{2}\times \sqrt{7}=\sqrt{2\times 7}=\sqrt{14}$; $\sqrt{30}=\sqrt{6\times 5}=\sqrt{6}\times \sqrt{5}$; $\sqrt{12}=\sqrt{4\times 3}=\sqrt{4}\times \sqrt{3}=2\sqrt{3}$.

Propriété

Pour tous les nombres positifs $a$ et $b$, avec $b\ne 0$ : $$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}.$$ Le quotient des racines carrées de deux nombres positifs est égal à la racine carrée du quotient de ces deux nombres.

Exemples : $\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{21}{3}}=\sqrt{7}$; $\sqrt{\frac{25}{16}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}}=\frac{5}{4}$.

Remarque : En général $\sqrt{a}+\sqrt{b}\ne \sqrt{a+b}$, par exemple : $\sqrt{9}+\sqrt{16}\ne \sqrt{25}$.

Définition : rationalisation d'un dénominateur

La rationalisation d'un dénominateur est un procédé qui permet de transformer en un nombre rationnel le dénominateur irrationnel de certaines expressions fractionnaires.

Pour tout $a>0$ : $$\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{1}{\sqrt{a}}\times \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{a}.$$

Exemple 1 : Pour tout $a\ge 0,b\ge 0$ avec $a-b\ne 0$ : $$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\times \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}.$$

Exemple 2 : Pour tout $a,b,c,d$ nombres rationnels tels que $b,d\ge 0$ et $a^{2}b-c^{2}d\ne 0$ : $$\frac{1}{a\sqrt{b}+c\sqrt{d}}=\frac{1}{a\sqrt{b}+c\sqrt{d}}\times \frac{a\sqrt{b}-c\sqrt{d}}{a\sqrt{b}-c\sqrt{d}}=\frac{a\sqrt{b}-c\sqrt{d}}{a^{2}b-c^{2}d}.$$

Exemple 3 : Pour tout $a,b,c,d$ nombres rationnels tels que $b,d\ge 0$ et $a^{2}b-c^{2}d\ne 0$ : $$\frac{1}{a\sqrt{b}-c\sqrt{d}}=\frac{1}{a\sqrt{b}-c\sqrt{d}}\times \frac{a\sqrt{b}+c\sqrt{d}}{a\sqrt{b}+c\sqrt{d}}=\frac{a\sqrt{b}+c\sqrt{d}}{a^{2}b-c^{2}d}.$$

Propriété

Soit $a$ un nombre.

• Si $a<0$, alors l'équation $x^2=a$ n'a pas de solution.
• Si $a=0$, alors l'équation $x^2=a$ possède une seule solution : $0$.
• Si $a>0$, alors l'équation $x^2=a$ possède deux solutions : $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$.

3.2 Calculs avec les racines carrées

Propriété

Pour tous les nombres positifs $a$ et $b$ :

$$\sqrt{a}\times \sqrt{b}=\sqrt{a\times b}.$$

Le produit des racines carrées de deux nombres positifs est égal à la racine carrée du produit de ces deux nombres.

Exemples : $\sqrt{2}\times \sqrt{7}=\sqrt{2\times 7}=\sqrt{14}$; $\sqrt{30}=\sqrt{6\times 5}=\sqrt{6}\times \sqrt{5}$; $\sqrt{12}=\sqrt{4\times 3}=\sqrt{4}\times \sqrt{3}=2\sqrt{3}$.

Propriété

Pour tous les nombres positifs $a$ et $b$, avec $b\ne 0$ :

$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}.$$

Le quotient des racines carrées de deux nombres positifs est égal à la racine carrée du quotient de ces deux nombres.

Exemples : $\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{21}{3}}=\sqrt{7}$; $\sqrt{\frac{25}{16}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}}=\frac{5}{4}$.

Remarque : En général $\sqrt{a}+\sqrt{b}\ne \sqrt{a+b}$, par exemple : $\sqrt{9}+\sqrt{16}\ne \sqrt{25}$.

Exemple : physique

Le temps qui sépare le lâcher d'une pierre et l'audition du bruit par la pierre en touchant le fond d'une cavité est donné par la formule :

$$t=\frac{p}{v}+\sqrt{\frac{2p}{g}}$$

où $g\simeq 9,81{\text{ m/s}}^2$ et $v=330\text{ m/s}$.

$p$ est la profondeur de la cavité en mètre.

Au bout de combien de temps entendrait-on le bruit que ferait, en touchant le sol, une pierre lâchée du haut d'un puits de 30 m de profondeur ?

$$t=\frac{30}{330}+\sqrt{\frac{2\times 30}{9,81}}\simeq 2,56\text{ s}.$$

Exemple : physique

« Plus un objet est lourd et plus il tombe vite ». Que pensez-vous de cette affirmation ?

L'astronome italien Galilée (1564-1642) démontra que cette idée est fausse. Il lâcha deux objets de formes semblables et de masses différentes du haut de la tour de Pise, et ces deux objets touchèrent le sol en même temps. Le temps, en seconde, mis par un corps qui tombe en chute libre sans vitesse initiale pour parcourir une distance $d$, en mètre, est donné par la formule :

$$t\simeq \sqrt{\frac{2d}{9,81}}.$$

C'est indépendant de la masse de l'objet.

Exemple : physique

La formule

$$v\simeq 1,15\times 10^{-5}\times \sqrt{\frac{M_T}{R_T}}$$

donne la vitesse minimale pour qu'une sonde spatiale puisse échapper à l'attraction terrestre. Dans cette formule : $M_T$ est la masse de la terre en kg, $R_T$ est le rayon de la terre en mètre, $v$ est la vitesse de la sonde en m/s. La masse de la terre est d'environ $5,98\times 10^{24}$ kg. Le rayon de la terre est d'environ $6,38\times 10^6$ m.

Calculer la vitesse $v$ de la sonde spatiale en km/h.

$$v\simeq 1,15\times 10^{-5}\times \sqrt{\frac{5,98\times 10^{24}}{6,38\times 10^6}}\simeq 11133,66\text{ m/s}\simeq 40081\text{ km/h}.$$

Exemple : longueur d'une bissectrice

La longueur $l$ d'une bissectrice d'un triangle quelconque est donnée par la formule :

$$l=\frac{\sqrt{bc\left((b+c{)}^2-a^2\right)}}{b+c}.$$

Toutes les mesures sont données en cm, avec $a=BC$, $b=CA$ et $c=AB$.

Calculer la longueur de la bissectrice issue de $A$ d'un triangle de côtés $AB=3$ cm, $AC=5$ cm et $BC=6$ cm.

$$l=\frac{\sqrt{5\times 3\left((5+3{)}^2-6^2\right)}}{5+3}=\frac{\sqrt{420}}{8}\simeq 2,56\text{ cm}.$$

Définition : rationalisation d'un dénominateur

La rationalisation d'un dénominateur est un procédé qui permet de transformer en un nombre rationnel le dénominateur irrationnel de certaines expressions fractionnaires.

Exemple 1 : Pour tout $a>0$ :

$$\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{1}{\sqrt{a}}\times \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{a}.$$

Exemple 2 : Pour tout $a\ge 0$, $b\ge 0$ avec $a-b\ne 0$ :

$$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\times \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}.$$

Exemple 3 : Pour tout $a,b,c,d$ nombres rationnels tels que $b,d\ge 0$ et $a^{2}b-c^{2}d\ne 0$ :

$$\frac{1}{a\sqrt{b}+c\sqrt{d}}=\frac{1}{a\sqrt{b}+c\sqrt{d}}\times \frac{a\sqrt{b}-c\sqrt{d}}{a\sqrt{b}-c\sqrt{d}}=\frac{a\sqrt{b}-c\sqrt{d}}{a^{2}b-c^{2}d}.$$

Exemple 4 : Pour tout $a,b,c,d$ nombres rationnels tels que $b,d\ge 0$ et $a^{2}b-c^{2}d\ne 0$ :

$$\frac{1}{a\sqrt{b}-c\sqrt{d}}=\frac{1}{a\sqrt{b}-c\sqrt{d}}\times \frac{a\sqrt{b}+c\sqrt{d}}{a\sqrt{b}+c\sqrt{d}}=\frac{a\sqrt{b}+c\sqrt{d}}{a^{2}b-c^{2}d}.$$

Propriété

Soit $a$ un nombre.

• Si $a<0$, alors l'équation $x^2=a$ n'a pas de solution.
• Si $a=0$, alors l'équation $x^2=a$ possède une seule solution : $0$.
• Si $a>0$, alors l'équation $x^2=a$ possède deux solutions : $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$.