Équations et inéquations

4.3 Équations avec valeur absolue

Pour résoudre une équation contenant des valeurs absolues, on utilise généralement la méthode du partage de la droite réelle en intervalles selon les points où les expressions sous les barres de valeur absolue s'annulent.

Exemple

Résoudre l'équation : $∣ x - 1∣ + 2∣ x ∣ - 3∣ x + 1∣ - ∣ x + 2∣ = x$

Les termes $∣ x - 1∣$ , $∣ x ∣$ , $∣ x + 1∣$ , $∣ x + 2∣$ s'annulent aux points $x = 1, 0, - 1, - 2$ . On partage alors la droite réelle en cinq intervalles : $x \leq - 2$ , $- 2 < x \leq - 1$ , $- 1 < x \leq 0$ , $0 < x \leq 1$ , $1 < x$ .

Si $x \leq - 2$ : $(1 - x) + 2 (- x) + 3 (x + 1) + (x + 2) = x \Leftrightarrow 6 = 0$ , pas de solutions.
Si $- 2 < x \leq - 1$ : $(1 - x) + 2 (- x) + 3 (x + 1) - (x + 2) = x \Leftrightarrow x = 1$ , pas de solutions.
Si $- 1 < x \leq 0$ : $1 - x + 2 (- x) - 3 (x + 1) - (x + 2) = x \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2}$ .
Si $0 < x \leq 1$ : $(1 - x) + 2 x - 3 (x + 1) - (x + 2) = x \Leftrightarrow x = - 1$ , pas de solutions.
Si $1 < x$ : $(x - 1) + 2 x - 3 (x + 1) - (x + 2) = x \Leftrightarrow x = - 3$ , pas de solutions.

Conclusion : l'unique solution de l'équation est $x = - \frac{1}{2}$ .

Exemple

Combien y a-t-il de paires $(x, y)$ d'entiers telles que : $∣ x y ∣ + ∣ x - y ∣ = 1$

Les termes $∣ x y ∣$ et $∣ x - y ∣$ sont des entiers positifs dont la somme est égale à 1. Donc :

Si $∣ x y ∣ = 1$ et $∣ x - y ∣ = 0$ : alors $x = y$ et $x^{2} = y^{2} = 1$ , donc les solutions sont $(x, y) = (1, 1)$ et $(x, y) = (- 1, - 1)$ .
Si $∣ x y ∣ = 0$ et $∣ x - y ∣ = 1$ : alors $x = 0$ ou $y = 0$ . Lorsque $x = 0$ , alors $∣ y ∣ = 1$ , c.-à-d. $y = \pm 1$ . Lorsque $y = 0$ , alors $∣ x ∣ = 1$ , c.-à-d. $x = \pm 1$ . Les 4 solutions sont alors $(0, 1), (0, - 1), (1, 0)$ et $(- 1, 0)$ .

Conclusion : il y a en tout 6 solutions.

Exemple

Soient $x$ et $y$ deux réels vérifiant : $$\begin{cases} |x| + x + y = 10 \\ x + |y| - y = 12 \end{cases}$$ Déterminer la valeur de $x + y$ .

Si $x > 0$ et $y > 0$ : le système devient ${2 x + y = 10 x = 12$ , donc $y < 0$ , contradiction.
Si $x \leq 0$ et $y \leq 0$ : alors $y = 10$ , contradiction.
Si $x > 0$ et $y \leq 0$ : le système devient ${2 x + y = 10 x - 2 y = 12$ , ce qui donne par élimination $x = \frac{32}{5}$ , et puis $y = - \frac{14}{5}$ . Ainsi, $x + y = \frac{18}{5}$ .
Si $x \leq 0$ et $y > 0$ : le système devient ${y = 10 x = 12$ , contradiction.

Exemple

Résoudre le système : $$\begin{cases} |x - y| = x + y - 2 \\ |x + y| = x + 2 \end{cases}$$

La première équation montre que $x + y - 2 \geq 0$ , d'où $x + y \geq 2 > 0$ . Donc, la seconde équation devient $x + y = x + 2$ , c.-à-d. $y = 2$ . En remplaçant $y$ par 2 dans la première équation on déduit que $∣ x - 2∣ = x$ , c.-à-d. $x - 2 = x$ ou $x - 2 = - x$ , donc $x = 1$ . En conclusion, $(x, y) = (1, 2)$ .

4.4 Équations avec des fractions

Dans ce paragraphe on va donner des exemples de résolutions d'équations contenant des fractions rationnelles. Généralement, on pensera à utiliser les sommes télescopiques, ou à faire des changements de variables.

Exemple

Résoudre l'équation : $\frac{x - 7}{x + 8} - \frac{x + 8}{x + 9} - \frac{x + 5}{x + 6} + \frac{x + 6}{x + 7} = 0$

L'équation s'écrit aussi : $(1 - \frac{1}{x + 8}) - (1 - \frac{1}{x + 9}) - (1 - \frac{1}{x + 6}) + (1 - \frac{1}{x + 7}) = 0$

D'où $\frac{1}{x + 8} - \frac{1}{x + 9} = \frac{1}{x + 6} - \frac{1}{x + 7}$ donc $\frac{1}{x ^{2} + 17 x + 72} = \frac{1}{x ^{2} + 13 x + 42}$ .

Ainsi, $x^{2} + 17 x + 72 = x^{2} + 13 x + 42$ , et finalement $x = - \frac{15}{2}$ .

Exemple

Résoudre l'équation $\frac{1}{x ^{2} + 2 x} + \frac{1}{x ^{2} + 6 x + 8} + \frac{1}{x ^{2} + 10 x + 24} = \frac{1}{5} - \frac{1}{x ^{2} + 14 x + 48}$

Par factorisation des dénominateurs, l'équation peut s'écrire : $\frac{1}{x ( x + 2 )} + \frac{1}{( x + 2 ) ( x + 4 )} + \frac{1}{( x + 4 ) ( x + 6 )} = \frac{1}{5} - \frac{1}{( x + 6 ) ( x + 8 )}$

Donc, on a de façon équivalente : $\frac{1}{2} (\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 2}) + (\frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x + 4}) + (\frac{1}{x + 4} - \frac{1}{x + 6}) + (\frac{1}{x + 6} - \frac{1}{x + 8}) = \frac{1}{5}$

Ainsi, $\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 8} = \frac{2}{5}$ , c.-à-d. $x^{2} + 8 x - 20 = 0$ , c.-à-d. $(x - 2) (x + 10) = 0$ . En conclusion, $x = 2$ ou $x = - 10$ .

Exemple

Résoudre l'équation : $\frac{2 x ^{2} + 1}{x + 2} + \frac{2 x + 4}{2 x ^{2} + 1} = 3$

On pose $y = \frac{2 x ^{2} + 1}{x + 2}$ , alors l'équation s'écrit : $y + \frac{2}{y} = 3$ . En réduisant au même dénominateur on a : $y^{2} - 3 y + 2 = 0 c.- \overset{a}{ˋ} -d. (y - 2) (y - 1) = 0$

Si $y = 1$ : alors $2 x^{2} - x - 1 = 0$ , d'où $x \in {1, - \frac{1}{2}}$ .
Si $y = 2$ : alors $2 x^{2} - 2 x - 3 = 0$ , d'où $x \in {\frac{1 - 7}{2}, \frac{1 + 7}{2}}$ .

Exemple

On suppose que les racines de l'équation : $\frac{1}{x ^{2} - 10 x - 29} + \frac{1}{x ^{2} - 10 x - 45} - \frac{2}{x ^{2} - 10 x - 69} = 0$ sont les réels $α$ et $β$ . Déterminer la valeur de $α + β$ .

En posant $y = x^{2} - 10 x - 45$ , l'équation s'écrit de façon équivalente : $\frac{1}{y + 16} + \frac{1}{y} = \frac{2}{y - 24}$ . Donc $\frac{y + 8}{y ^{2} + 16 y} = \frac{1}{y - 24} i.e. y^{2} - 16 y - 192 = y^{2} + 16 y donc y = - 6$

Or $x^{2} - 10 x - 45 = - 6 \Rightarrow x^{2} - 10 x - 39 = 0$ . Par le théorème de Viète on conclut que $α + β = 10$ .

Exemple

Résoudre l'équation : $\frac{4 x ^{2} + x + 4}{x ^{2} + 1} + \frac{x ^{2} + 1}{x ^{2} + x + 1} = \frac{31}{6}$

L'équation s'écrit de façon équivalente : $4 + \frac{x}{x ^{2} + 1} + 1 - \frac{x}{x ^{2} + x + 1} = 5 + \frac{1}{6}$ d'où $\frac{1}{x + \frac{1}{x}} - \frac{1}{x + \frac{1}{x} + 1} = \frac{1}{6}$

En posant $u = x + \frac{1}{x}$ , l'équation se transforme en $\frac{1}{u} - \frac{1}{u + 1} = \frac{1}{6}$ , d'où $u (u + 1) = 6$ , par suite $u^{2} + u - 6 = 0$ Ainsi, on a $(u - 2) (u + 3) = 0$ , c.-à-d. $u = 2$ ou $u = - 3$ .

Si $u = 2$ : alors $x + \frac{1}{x} = 2$ , donc $(x - 1)^{2} = 0$ , d'où $x = 1$ .
Si $u = - 3$ : alors $x + \frac{1}{x} = - 3$ , donc $x^{2} + 3 x + 1 = 0$ , d'où $x = \frac{- 3 - 5}{2}$ ou $x = \frac{- 3 + 5}{2}$ .

Exemple

Résoudre l'équation : $\frac{x ^{2}}{15} + \frac{48}{5 x ^{2}} = \frac{2 x}{3} - \frac{8}{x}$

En multipliant les deux membres de l'équation par 15 on obtient : $x^{2} + (\frac{12}{x})^{2} = 10 x - \frac{12}{x}$

Posons $y = x - \frac{12}{x}$ , en prenant les carrés on arrive à $y^{2} - 10 y + 24 = 0$ , d'où $(y - 4) (y - 6) = 0$ . Ainsi, $y = 4$ ou $y = 6$ .

Si $y = 4$ : alors $x - \frac{12}{x} = 4$ , donc $(x - 6) (x + 2) = 0$ , ainsi $x = 6$ ou $x = - 2$ .
Si $y = 6$ : alors $x - \frac{12}{x} = 6$ , donc $x^{2} - 6 x - 12 = 0$ , ainsi $x = 3 - 21$ ou $x = 3 + 21$ .

Exemple

Résoudre l'équation : $2 x^{2} - 3 x + \frac{2 - 3 x}{x ^{2}} = 1$

Comme $x \neq = 0$ , l'équation est équivalente à : $2 (x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}) - 3 (x + \frac{1}{x}) = 1$

En posant $y = x + \frac{1}{x}$ , alors on obtient $2 y^{2} - 3 y - 4 = 1$ , c.-à-d. $(2 y - 5) (y + 1) = 0$ . Ainsi, $y = \frac{5}{2}$ ou $y = - 1$ .

Si $y = \frac{5}{2}$ : alors $2 x + \frac{2}{x} = 5$ , ainsi $2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$ , donc $(2 x - 1) (x - 2) = 0$ , ainsi $x = \frac{1}{2}$ ou $x = 2$ .
Si $y = - 1$ : alors $x + \frac{1}{x} = - 1$ , ainsi $x^{2} + x + 1 = 0$ , pas de solutions réelles.

Exemple

Résoudre l'équation : $x^{2} + (\frac{x}{x + 1})^{2} = 3$

Comme $a^{2} + b^{2} = (a - b)^{2} + 2 ab$ , alors l'équation est équivalente à : $(x - \frac{x}{x + 1})^{2} + \frac{2 x ^{2}}{x + 1} = 3 donc (\frac{x ^{2}}{x + 1})^{2} + 2 \cdot \frac{x ^{2}}{x + 1} - 3 = 0$

En posant $y = \frac{x ^{2}}{x + 1}$ , alors on obtient $y^{2} + 2 y - 3 = 0$ c.-à-d. $(y + 3) (y - 1) = 0$ . Ainsi $y = - 3$ ou $y = 1$ .

Si $y = - 3$ : alors $\frac{x ^{2}}{x + 1} = - 3$ , d'où $x^{2} + 3 x + 3 = 0$ , pas de solutions réelles.
Si $y = 1$ : alors $\frac{x ^{2}}{x + 1} = 1$ , d'où $x^{2} - x - 1 = 0$ , les solutions sont $x = \frac{1 - 5}{2}$ et $x = \frac{1 + 5}{2}$ .

Conclusion : l'ensemble des solutions est ${\frac{1 - 5}{2}, \frac{1 + 5}{2}}$ .

4.5 Équations de degré supérieur

On parle d'équations de degré supérieur lorsqu'on a un polynôme de degré $> 2$ . À travers ce paragraphe, on verra qu'il y a essentiellement deux méthodes qui permettent de résoudre de telles équations. La première consiste à utiliser la factorisation, et la seconde à faire des changements de variables.

Exemple

Déterminer toutes les solutions réelles $(x, y, z)$ de l'équation : $4 x y z - x^{4} - y^{4} - z^{4} = 1$

L'équation en question est équivalente successivement à : $(x^{4} + 1) + (y^{4} + z^{4}) - 4 x y z = 0$ $(x^{4} - 2 x^{2} + 1) + (y^{4} - 2 y^{2} z^{2} + z^{4}) + 2 x^{2} - 2 x y z + y^{2} z^{2} = 0$ $(x^{2} - 1)^{2} + (y^{2} - z^{2})^{2} + 2 (x - y z)^{2} = 0$

Donc, $x = \pm 1$ , $y = \pm z$ , $x = y z$ . Finalement, les solutions sont : $(x, y, z) = (1, 1, 1); (1, - 1, - 1); (- 1, 1, - 1); (- 1, - 1, 1)$

Exemple

Déterminer la plus grande racine réelle de l'équation : $3 x^{7} - x^{4} - 30 x^{5} + 10 x^{2} + 3 x^{3} - 1 = 0$

En factorisant le membre de gauche on a : $3 x^{3} (x^{4} - 10 x^{2} + 1) - (x^{4} - 10 x^{2} + 1) = 0 d’o \overset{u}{ˋ} (3 x^{3} - 1) (x^{4} - 10 x^{2} + 1) = 0$

Si $3 x^{3} - 1 = 0$ : alors $x = \frac{1}{3 3}$ .
Si $x^{4} - 10 x^{2} + 1 = 0$ : alors $x^{2} = \frac{10 \pm 96}{2} = 5 \pm 26 = (3 \pm 2)^{2}$ , par suite $x = \pm (3 \pm 2)$ .

Conclusion : la plus grande racine réelle de l'équation est $3 + 2$ .

Exemple

Résoudre l'équation : $(6 x + 7)^{2} (3 x + 4) (x + 1) = 6$

En multipliant les deux membres de l'équation par 12 on déduit que : $(6 x + 7)^{2} [(6 x + 8) (6 x + 6)] = 72 d’o \overset{u}{ˋ} (6 x + 7)^{2} [(6 x + 7)^{2} - 1] = 72$

Posons $y = (6 x + 7)^{2}$ , alors $y \geq 0$ et $y^{2} - y - 72 = 0$ , c.-à-d. $(y + 8) (y - 9) = 0$ . Donc $y = 9$ , et ainsi $6 x + 7 = \pm 3$ Les solutions sont $x = - \frac{2}{3}$ et $x = - \frac{5}{3}$ .

Exemple

Déterminer le produit de toutes les racines réelles de l'équation : $x^{2} + 2 x - \frac{6}{x ^{2} + 2 x - 12} = 13$

En posant $y = x^{2} + 2 x - 12$ , l'équation devient : $y - \frac{6}{y} = 1$ , c.-à-d. $y^{2} - y - 6 = (y - 3) (y + 2) = 0$ .

Si $y = 3$ : alors $x^{2} + 2 x - 12 = 3$ ce qui donne $x = 3$ ou $x = - 5$ .
Si $y = - 2$ : alors $x^{2} + 2 x - 12 = - 2$ ce qui donne $x = - 1 - 11$ ou $x = - 1 + 11$ .

Conclusion : le produit de toutes les racines réelles est égal à : $3 \times (- 5) \times (- 1 - 11) \times (- 1 + 11) = 150$

Exemple

Déterminer la différence entre la plus grande et la plus petite racine réelle de l'équation : $(x^{2} - 5)^{4} + (x^{2} - 7)^{4} = 16$

En posant $y = x^{2} - 6$ , l'équation devient : $(y + 1)^{4} + (y - 1)^{4} = 16$ . Or, on sait que : $(y + 1)^{4} = y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ $(y - 1)^{4} = y^{4} - 4 y^{3} + 6 y^{2} - 4 y + 1$

Donc, l'équation s'écrit : $y^{4} + 6 y^{2} + 1 = 8$ , c.-à-d. $y^{4} + 6 y^{2} - 7 = 0$ . D'où $(y^{2} + 7) (y^{2} - 1) = 0$ , ce qui donne $y = \pm 1$ .

Si $y = 1$ : alors $x^{2} - 6 = 1$ , ce qui donne $x = \pm 7$ .
Si $y = - 1$ : alors $x^{2} - 6 = - 1$ , ce qui donne $x = \pm 5$ .

Conclusion : la réponse est $7 + 7 = 27$ .

Exemple

Résoudre l'équation : $3 x^{4} + 2 x^{3} - 7 x^{2} - 2 x + 3 = 0$

Il est clair que 0 n'est pas une solution. Alors, en divisant l'équation par $x^{2}$ on obtient : $3 (x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}) + 2 (x - \frac{1}{x}) - 7 = 0$

Posons $y = x - \frac{1}{x}$ , alors l'équation ci-dessus devient : $2 y^{2} + 2 y - 1 = 0$ , c.-à-d. $(3 y - 1) (y + 1) = 0$ .

Si $y = - 1$ : alors $x^{2} + x - 1 = 0$ , ce qui donne $x = \frac{- 1 \pm 5}{2}$ .
Si $y = \frac{1}{3}$ : alors $3 x^{2} - x - 3 = 0$ , ce qui donne $x = \frac{1 \pm 37}{2}$ .

Exemple

Résoudre l'équation : $x^{4} - 9 x^{3} + 2 (10 - a) x^{2} + 9 a x + a^{2} = 0$ où $a > 0$ est un paramètre réel.

On cherche à trouver une factorisation de cette expression. On a : $x^{4} - 9 x^{3} + 2 (10 - a) x^{2} + 9 a x + a^{2} = a^{2} - (2 x^{2} - 9 x) a + (x^{4} - 9 x^{3} + 20 x^{2})$ $= a^{2} - x (2 x - 9) a + x^{2} (x - 4) (x - 5)$ $= [a - x (x - 5)] [a - x (x - 4)]$ $= (a - x^{2} + 5 x) (a - x^{2} + 4 x)$ $= (x^{2} - 5 x - a) (x^{2} - 4 x - a)$

L'équation $x^{2} - 5 x - a = 0$ entraîne que $x = \frac{5 \pm 25 + 4 a}{2}$ .
L'équation $x^{2} - 4 x - a = 0$ entraîne que $x = 2 \pm 4 + a$ .

4.6 Équations avec radicaux

L'idée principale pour résoudre des équations avec radicaux c'est de se « débarasser » du symbole $\dots$ ou $m \dots$ . On pense notamment à prendre des puissances, ou à effectuer des changements de variables.

Exemple

Résoudre l'équation : $3 x - 3 + 7 x - 12 - 10 x + 9 = 0$

L'équation s'écrit : $3 x - 3 + 7 x - 12 = 10 x + 9$ , et en prenant les carrés on obtient : $(3 x - 3) (7 x - 12) = 12$

En prenant à nouveau les carrés, on aboutit à : $21 x^{2} - 57 x - 108 = 0$ , c.-à-d. $(3 x - 12) (7 x + 9) = 0$ . Donc, $x = 4$ ou $x = - \frac{9}{7}$ . En vérifiant les calculs, seule $x = 4$ est solution de l'équation.

Exemple

Résoudre l'équation : $3 x - 1 + 3 x - 3 + 3 x - 5 = 0$

D'après le chapitre sur le calcul littéral on sait que si $a + b + c = 0$ alors $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3 ab c$ . Donc : $(x - 1) + (x - 3) + (x - 5) = 3 \cdot 3 (x - 1) (x - 3) (x - 5)$

D'où $x - 3 = 3 (x - 1) (x - 3) (x - 5)$ , ce qui donne $3 x - 3 \cdot [3 (x - 3)^{2} - 3 (x - 1) (x - 5)] = 0$ .

Si $3 x - 3 = 0$ : alors $x = 3$ ;
Si $3 (x - 3)^{2} - 3 (x - 1) (x - 5) = 0$ : alors $9 = 5$ , impossible.

Conclusion : l'unique solution de l'équation est $x = 3$ .

Exemple

Résoudre l'équation : $2 \cdot x (x + 6) - x - x + 6 = 14 - 2 x$

Puisque $(x + x + 6)^{2} = 2 x + 2 \cdot x (x + 6) + 6$ , alors l'équation s'écrit : $2 x + 2 x (x + 6) + 6 - x - x + 6 - 20 = 0$

Posons $y = x + x + 6$ , alors $y \geq 0$ et $y^{2} - y - 20 = 0$ . Par suite $(y - 5) (y + 4) = 0$ . Ainsi $y = 5$ , ce qui donne : $x + x + 6 = 5 \Rightarrow x + 6 = x + 25 - 10 x \Rightarrow x = (\frac{19}{10})^{2}$

Exemple

Résoudre l'équation : $x + 1 + y + z - 4 = \frac{x + y + z}{2}$

En prenant les carrés l'équation devient : $(x + 1 - 2 x + 1 + 1) + (y - 2 y + 1) + (z - 4 - 2 z - 4 + 1) = 0$

D'où : $(x + 1 - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 4 - 1)^{2} = 0$ , par suite : $x + 1 = 1, y = 1, z - 4 = 1 c.- \overset{a}{ˋ} -d. x = 0, y = 1, z = 5$

Exemple

Résoudre l'équation : $x^{2} - 4 x - 4 + x x^{2} - 2 x - 2 = 0$

Si $y = x^{2} - 2 x - 2$ alors $2 y^{2} + x y - x^{2} = 0$ , donc $(2 y - x) (y + x) = 0$ . Ainsi $y = \frac{x}{2}$ ou $y = - x$ .

Si $y = \frac{x}{2}$ : alors $x^{2} - 2 x - 2 = \frac{x}{2}$ , donc $3 x^{2} - 8 x - 8 = 0$ et $x \geq 0$ , ce qui donne $x = \frac{4 + 2 10}{3}$ ou $x = \frac{4 - 2 10}{3} < 0$ .
Si $x^{2} - 2 x - 2 = - x$ : alors $- 2 x - 2 = 0$ et $x \leq 0$ , ainsi $x = - 1$ .

Conclusion : les solutions de l'équation sont $x = \frac{4 + 2 10}{3}$ et $x = - 1$ .

Exemple

Résoudre l'équation : $2 x + 2 x - 1 + 2 x - 2 x - 1 = 2$

On pose $u = 2 x + 2 x - 1$ et $v = 2 x - 2 x - 1$ , alors $u, v \geq 0$ et $u + v = 2$ et $u - v = \frac{u ^{2} - v ^{2}}{u + v} = 2 x - 1$

Par suite, $2 u = 2 + 2 x - 1$ . En revenant à $x$ on a ainsi : $2 2 x + 2 x - 1 = 2 + 2 x - 1$ d'où $4 (2 x + 2 x - 1) = 4 + 2 x - 1 + 4 2 x - 1$ .

Donc, $6 x = 3$ , ce qui donne $x = \frac{1}{2}$ . Il est facile de vérifier que $x = \frac{1}{2}$ vérifie l'équation.

Exemple

Résoudre l'équation : $4 x^{2} + 5 x - 2 - 4 x^{2} - 3 x - 2 = 2 x$

Il est clair que $x = 0$ n'est pas solution. On suppose dans la suite que $x \neq = 0$ , alors en divisant l'équation par $x$ on obtient : $4 x - \frac{2}{x} + 5 - 4 x - \frac{2}{x} - 3 = 2$

En posant $y = 4 x - \frac{2}{x}$ , il s'ensuit que $y + 5 - y - 3 = 2$ . En prenant les carrés on arrive à : $y + 5 = y + 1 + 4 y - 3$ par suite $y - 3 = 1$ , ce qui donne $y = 4$ . Maintenant, avec $y = 4$ on a : $4 x - \frac{2}{x} = 4$ ce qui implique que $2 x^{2} - 2 x - 1 = 0$ , d'où $x = \frac{1 \pm 3}{2}$ . En conclusion, la seule solution de l'équation est $x = \frac{1 + 3}{2}$ .

Exemple

Résoudre l'équation : $3 (1 + x)^{2} + 15 \cdot 3 (1 - x)^{2} = 8 \cdot 3 1 - x^{2}$

Il est clair que $x = \pm 1$ ne sont pas solutions de l'équation. On suppose dans la suite que $x^{2} \neq = 1$ , alors en divisant par $3 1 - x^{2}$ l'équation s'écrit : $3 \frac{1 + x}{1 - x} + 15 \cdot 3 \frac{1 - x}{1 + x} = 8$

Le changement de variables $y = 3 \frac{1 + x}{1 - x}$ donne $y + \frac{15}{y} = 8$ , c.-à-d. $y^{2} - 8 y + 15 = 0$ dont les solutions sont $y = 3$ et $y = 5$ .

Si $y = 3$ : alors $1 + x = 27 (1 - x)$ , ce qui donne $x = \frac{13}{14}$ .
Si $y = 5$ : alors $1 + x = 125 (1 - x)$ , ce qui donne $x = \frac{62}{63}$ .

Exemple

Si $x$ et $y$ sont deux réels vérifiant l'équation : $x^{2} + 2 y + 4 + x^{2} + x - y + 5 = x^{2} + x + 3 y + 2 + x^{2} + 2 x + 3$ déterminer la valeur de $x + y$ .

Puisque : $(x^{2} + x + 3 y + 2) - (x^{2} + 2 y + 4) = (x + y - 2) = (x^{2} + 2 x + 3) - (x^{2} + x - y + 5)$ alors l'équation peut s'écrire sous la forme : $x^{2} + 2 y + 4 + x^{2} + x - y + 5 = x^{2} + 2 y + 4 + δ + x^{2} + x - y + 5 + δ$ où $δ = x + y - 2$ .

Pour toute solution $(x, y)$ , le membre de droite est une fonction strictement croissante de $δ$ , donc c'est plus grand que le membre de gauche si $δ > 0$ , et plus petit que le membre de gauche si $δ < 0$ . Donc, $δ = 0$ pour toute solution $(x, y)$ . Ainsi, $x + y = 2$ .

L'équation en question admet une infinité de solutions réelles, par exemple, toute paire $(x, y)$ de nombres réels strictement positifs avec $x + y = 2$ est une solution.

4.7 Équations avec des puissances

Dans ce paragraphe on va étudier des équations qui font intervenir des puissances.

Exemple

Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que : $1 2^{200} < n^{300}$

L'idée est d'avoir le même exposant dans les puissances. On a : $1 2^{200} < n^{300} \Leftrightarrow 14 4^{100} < (n^{3})^{100} \Leftrightarrow 144 < n^{3}$

Or $5^{3} < 144 < 6^{3}$ , et par suite $n = 6$ .

Exemple

Combien y a-t-il de solutions entières de l'équation : $(x^{2} - 2 x - 4)^{x^{2} + 3 x + 2} = 1 ?$

Pour résoudre les équations $f (x)^{g (x)} = 1$ il y a trois cas à distinguer :

$g (x) = 0$ et $f (x) \neq = 0$ ,
$f (x) = 1$ ,
$f (x) = - 1$ et $g (x)$ est un nombre pair.

Revenons maintenant à notre exemple :

Si $x^{2} + 3 x + 2 = 0$ et $x^{2} - 2 x - 4 \neq = 0$ : alors $x = - 1$ ou $x = - 2$ .
Si $x^{2} - 2 x - 4 = 1$ : alors $x = 1 - 6$ ou $x = 1 + 6$ .
Si $x^{2} - 2 x - 4 = - 1$ et $x^{2} + 3 x + 2$ est un nombre pair : alors $x = 3$ ou $x = - 1$ .

Conclusion : il y a 3 solutions entières de l'équation.

Exemple (Corée)

Résoudre l'équation : $2^{x} + 3^{x} - 4^{x} + 6^{x} - 9^{x} = 1$

On pose $2^{x} = a$ et $3^{x} = b$ , alors l'équation devient : $1 + a^{2} + b^{2} - a - b - ab = 0$

En multipliant cette équation par 2, on déduit que : $(1 - a)^{2} + (a - b)^{2} + (b - 1)^{2} = 0$

Par conséquent $a = b = 1$ , et ainsi $x = 0$ est l'unique solution de l'équation.

Exemple (États-Unis)

Résoudre l'équation : $1 0^{x} + 1 1^{x} + 1 2^{x} = 1 3^{x} + 1 4^{x}$

Il est facile de voir que $x = 2$ est une solution de l'équation. On va montrer que c'est la seule solution. On divise l'équation par $1 3^{x}$ alors on obtient : $(\frac{10}{13})^{x} + (\frac{11}{13})^{x} + (\frac{12}{13})^{x} = 1 + (\frac{14}{13})^{x}$

La fonction $x \mapsto (\frac{10}{13})^{x} + (\frac{11}{13})^{x} + (\frac{12}{13})^{x}$ est strictement décroissante, et la fonction $x \mapsto 1 + (\frac{14}{13})^{x}$ est strictement croissante. Comme elles sont égales, alors il y a au plus une solution. En conclusion, $x = 2$ est l'unique solution de l'équation.

Exemple

Quel est le nombre de solutions de l'équation : $5^{2 x} - 26 \cdot 5^{x} + 5^{2 x} - 26 \cdot 5^{x} + 26 = - 24 ?$

En posant $y = 5^{2 x} - 26 \cdot 5^{x} + 26$ alors l'équation devient $y^{2} + y - 2 = 0$ , d'où $y = 1$ . Maintenant : $5^{2 x} - 26 \cdot 5^{x} + 26 = 1 \Rightarrow (5^{x} - 1) (5^{x} - 25) = 0 \Rightarrow x \in {0, 2}$

Conclusion : il y a deux solutions.

Exemple

Combien y a-t-il de solutions entières de l'équation : $(x^{2} - 2 x - 4)^{x^{2} + 3 x + 2} = 1 ?$

Pour résoudre les équations $f (x)^{g (x)} = 1$ il y a trois cas à distinguer :

$g (x) = 0$ et $f (x) = 0$ ,
$f (x) = 1$ ,
$f (x) = - 1$ et $g (x)$ est un nombre pair.

Revenons maintenant à notre exemple :

Si $x^{2} + 3 x + 2 = 0$ et $x^{2} - 2 x - 4 = 0$ : alors $x = - 1$ ou $x = - 2$ .
Si $x^{2} - 2 x - 4 = 1$ : alors $x = 1 - 6$ ou $x = 1 + 6$ .
Si $x^{2} - 2 x - 4 = - 1$ et $x^{2} + 3 x + 2$ est un nombre pair : alors $x = 3$ ou $x = - 1$ .

Conclusion : il y a 3 solutions entières de l'équation.

Exemple (Corée)

Résoudre l'équation : $2^{x} + 3^{x} - 4^{x} + 6^{x} - 9^{x} = 1$

On pose $2^{x} = a$ et $3^{x} = b$ , alors l'équation devient : $1 + a^{2} + b^{2} - a - b - ab = 0$

En multipliant cette équation par 2, on déduit que : $(1 - a)^{2} + (a - b)^{2} + (b - 1)^{2} = 0$

Par conséquent $a = b = 1$ , et ainsi $x = 0$ est l'unique solution de l'équation.

Exemple (États-Unis)

Résoudre l'équation : $1 0^{x} + 1 1^{x} + 1 2^{x} = 1 3^{x} + 1 4^{x}$

Exemple

Quel est le nombre de solutions de l'équation : $5^{2 x} - 26 \cdot 5^{x} + 5^{2 x} - 26 \cdot 5^{x} + 26 = - 24 ?$

Conclusion : il y a deux solutions.

Corollaire 3

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels positifs, alors :

$\frac{a ^{2} + b ^{2}}{2} \geq \frac{a + b}{2} .$

Preuve

Puisque $a^{2} + b^{2} \geq 2 ab$ si et seulement si $2 a^{2} + 2 b^{2} \geq a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2}$ , alors on déduit l'inégalité recherchée.

Corollaire 4

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels strictement positifs, alors :

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2.$

En particulier, si $b = 1$ alors $a + \frac{1}{a} \geq 2$ .

Preuve

Comme $a^{2} + b^{2} \geq 2 ab$ , alors en divisant les deux membres par $ab > 0$ on déduit l'inégalité recherchée.

Corollaire 5

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels positifs, alors :

$\frac{a + b}{2} \geq ab .$

Preuve

En remplaçant $a, b$ par $a, b$ dans $a^{2} + b^{2} \geq 2 ab$ on déduit que : $a + b \geq 2 ab$ .

Corollaire 6

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels strictement positifs, alors :

$ab \geq \frac{2 ab}{a + b} .$

Preuve

D'après le corollaire précédent on a : $\frac{a + b}{2} \geq ab$ , donc $\frac{2}{a + b} \leq \frac{1}{ab}$ , il suffit de multiplier par $ab$ pour conclure.

Théorème (inégalités de la moyenne)

Pour tout réels strictement positifs $a$ et $b$ on a :

$\frac{2 ab}{a + b} \leq ab \leq \frac{a + b}{2} \leq \frac{a ^{2} + b ^{2}}{2} .$

Démonstration

C'est une simple conséquence des corollaires précédents. Le premier terme de l'inégalité s'appelle moyenne harmonique, le deuxième terme s'appelle moyenne géométrique, le troisième terme s'appelle moyenne arithmétique, et le quatrième terme s'appelle moyenne quadratique.

Théorème

Pour tout réels positifs $x, y, z$ on a :

$\frac{x + y + z}{3} \geq 3 x y z,$

avec égalité si, et seulement si, $x = y = z$ .

Démonstration

On sait que $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 ab c = (a + b + c) \cdot \frac{( a - b ) ^{2} + ( b - c ) ^{2} + ( c - a ) ^{2}}{2}$ . Donc, si $a, b, c$ sont positifs alors $a^{3} + b^{3} + c^{3} \geq 3 ab c$ . De plus, si $a + b + c = 0$ ou $(a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2} = 0$ alors on a égalité, et ceci se produit lorsque $a = b = c$ . Finalement, en posant $a = 3 x$ , $b = 3 y$ et $c = 3 z$ , alors $\frac{x + y + z}{3} \geq 3 x y z$ , avec égalité si, et seulement si, $x = y = z$ .

Exemple

Pour tout réel $x$ on a :

$\frac{x ^{2} + 2}{x ^{2} + 1} \geq 2.$

On a : $\frac{x ^{2} + 2}{x ^{2} + 1} = \frac{x ^{2} + 1}{x ^{2} + 1} + \frac{1}{x ^{2} + 1} = x^{2} + 1 + \frac{1}{x ^{2} + 1} \geq 2$ .

Exemple

Soient $a, b, c$ des nombres réels positifs. Montrer que :

$(a + b) (b + c) (c + a) \geq 8 ab c .$

On sait que $\frac{a + b}{2} \geq ab$ , $\frac{b + c}{2} \geq b c$ et $\frac{a + c}{2} \geq a c$ , alors :

$\frac{a + b}{2} \cdot \frac{b + c}{2} \cdot \frac{a + c}{2} \geq a^{2} b^{2} c^{2} = ab c .$

4.3 Équations avec valeur absolue

Pour résoudre des équations contenant des valeurs absolues, on utilise généralement la technique de partage de la droite réelle en intervalles selon les points d'annulation des expressions sous le symbole de valeur absolue.

Exemple

Résoudre l'équation :

$∣ x - 1∣ + 2∣ x ∣ - 3∣ x + 1∣ - ∣ x + 2∣ = x$

Si $x \leq - 2$ , alors $(1 - x) + 2 (- x) + 3 (x + 1) + (x + 2) = x \Leftrightarrow 6 = 0$ , pas de solutions.
Si $- 2 < x \leq - 1$ , alors $(1 - x) + 2 (- x) + 3 (x + 1) - (x + 2) = x \Leftrightarrow x = 1$ , pas de solutions.
Si $- 1 < x \leq 0$ , alors $1 - x + 2 (- x) - 3 (x + 1) - (x + 2) = x \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2}$ .
Si $0 < x \leq 1$ , alors $(1 - x) + 2 x - 3 (x + 1) - (x + 2) = x \Leftrightarrow x = - 1$ , pas de solutions.
Si $1 < x$ , alors $(x - 1) + 2 x - 3 (x + 1) - (x + 2) = x \Leftrightarrow x = - 3$ , pas de solutions.

En conclusion, l'unique solution de l'équation est $x = - \frac{1}{2}$ .

Exemple

Combien y a-t-il de paires $(x, y)$ d'entiers telles que :

$∣ x y ∣ + ∣ x - y ∣ = 1$

Les termes $∣ x y ∣$ et $∣ x - y ∣$ sont des entiers positifs dont la somme est égale à 1. Donc :

Si $∣ x y ∣ = 1$ et $∣ x - y ∣ = 0$ , alors $x = y$ et $x^{2} = y^{2} = 1$ , donc les solutions sont $(x, y) = (1, 1)$ et $(x, y) = (- 1, - 1)$ .
Si $∣ x y ∣ = 0$ et $∣ x - y ∣ = 1$ , alors $x = 0$ ou $y = 0$ . Lorsque $x = 0$ , alors $∣ y ∣ = 1$ , c'est-à-dire $y = \pm 1$ . Lorsque $y = 0$ , alors $∣ x ∣ = 1$ , c'est-à-dire $x = \pm 1$ . Les 4 solutions sont alors $(0, 1), (0, - 1), (1, 0)$ et $(- 1, 0)$ .

En conclusion, il y a en tout 6 solutions.

Exemple

Soient $x$ et $y$ deux réels vérifiant :

$$\begin{cases} |x| + x + y = 10,\\ x + |y| - y = 12. \end{cases}$$

Déterminer la valeur de $x + y$ .

Si $x > 0$ et $y > 0$ , alors le système devient ${2 x + y = 10 x = 12$ , donc $y < 0$ , contradiction.
Si $x \leq 0$ et $y \leq 0$ , alors $y = 10$ , contradiction.
Si $x > 0$ et $y \leq 0$ , alors le système devient ${2 x + y = 10 x - 2 y = 12$ , ce qui donne par élimination $x = \frac{32}{5}$ , et puis $y = - \frac{14}{5}$ . Ainsi, $x + y = \frac{18}{5}$ .
Si $x \leq 0$ et $y > 0$ , alors le système devient ${y = 10 x = 12$ , contradiction.

Exemple

Résoudre le système :

$$\begin{cases} |x - y| = x + y - 2,\\ |x + y| = x + 2. \end{cases}$$

La première équation montre que $x + y - 2 \geq 0$ , d'où $x + y \geq 2 > 0$ . Donc, la seconde équation devient $x + y = x + 2$ , c'est-à-dire $y = 2$ . En remplaçant $y$ par $2$ dans la première équation on déduit que $∣ x - 2∣ = x$ , c'est-à-dire $x - 2 = x$ ou $x - 2 = - x$ , donc $x = 1$ . En conclusion, $(x, y) = (1, 2)$ .

4.4 Équations avec des fractions

Exemple

Résoudre l'équation :

$\frac{x - 7}{x + 8} - \frac{x + 8}{x + 9} - \frac{x + 5}{x + 6} + \frac{x + 6}{x + 7} = 0$

L'équation s'écrit aussi :

$(1 - \frac{1}{x + 8}) - (1 - \frac{1}{x + 9}) - (1 - \frac{1}{x + 6}) + (1 - \frac{1}{x + 7}) = 0$

D'où

$\frac{1}{x + 8} - \frac{1}{x + 9} = \frac{1}{x + 6} - \frac{1}{x + 7}$

donc

$\frac{1}{x ^{2} + 17 x + 72} = \frac{1}{x ^{2} + 13 x + 42}$

Ainsi, $x^{2} + 17 x + 72 = x^{2} + 13 x + 42$ , et finalement $x = - \frac{15}{2}$ .

Exemple

Résoudre l'équation

$\frac{1}{x ^{2} + 2 x} + \frac{1}{x ^{2} + 6 x + 8} + \frac{1}{x ^{2} + 10 x + 24} = \frac{1}{5} - \frac{1}{x ^{2} + 14 x + 48}$

Par factorisation des dénominateurs, l'équation peut s'écrire :

$\frac{1}{x ( x + 2 )} + \frac{1}{( x + 2 ) ( x + 4 )} + \frac{1}{( x + 4 ) ( x + 6 )} = \frac{1}{5} - \frac{1}{( x + 6 ) ( x + 8 )}$

Donc, on a de façon équivalente :

$\frac{1}{2} [(\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 2}) + (\frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x + 4}) + (\frac{1}{x + 4} - \frac{1}{x + 6}) + (\frac{1}{x + 6} - \frac{1}{x + 8})] = \frac{1}{5}$

Ainsi, $\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 8} = \frac{2}{5}$ , c'est-à-dire $x^{2} + 8 x - 20 = 0$ , c'est-à-dire $(x - 2) (x + 10) = 0$ . En conclusion, $x = 2$ ou $x = - 10$ .

Exemple

Résoudre l'équation :

$\frac{2 x ^{2} + 1}{x + 2} + \frac{2 x + 4}{2 x ^{2} + 1} = 3$

On pose $y = \frac{2 x ^{2} + 1}{x + 2}$ , alors l'équation s'écrit : $y + \frac{2}{y} = 3$ . En réduisant au même dénominateur on a :

$y^{2} - 3 y + 2 = 0$

c'est-à-dire

$(y - 2) (y - 1) = 0$

Si $y = 1$ , alors $2 x^{2} - x - 1 = 0$ , d'où $x \in {1, - \frac{1}{2}}$ .

Si $y = 2$ , alors $2 x^{2} - 2 x - 3 = 0$ , d'où $x \in {\frac{1 - 7}{2}, \frac{1 + 7}{2}}$ .

Exemple

On suppose que les racines de l'équation :

$\frac{1}{x ^{2} - 10 x - 29} + \frac{1}{x ^{2} - 10 x - 45} - \frac{2}{x ^{2} - 10 x - 69} = 0$

sont les réels $α$ et $β$ . Déterminer la valeur de $α + β$ .

En posant $y = x^{2} - 10 x - 45$ , l'équation s'écrit de façon équivalente : $\frac{1}{y + 16} + \frac{1}{y} = \frac{2}{y - 24}$ . Donc $\frac{y + 8}{y ^{2} + 16 y} = \frac{1}{y - 24}$ , c'est-à-dire $y^{2} - 16 y - 192 = y^{2} + 16 y$ , donc $y = - 6$ .

Or $x^{2} - 10 x - 45 = - 6 \Rightarrow x^{2} - 10 x - 39 = 0$ . Par le théorème de Viète on conclut que $α + β = 10$ .

Exemple

Résoudre l'équation :

$\frac{4 x ^{2} + x + 4}{x ^{2} + 1} + \frac{x ^{2} + 1}{x ^{2} + x + 1} = \frac{31}{6}$

L'équation s'écrit de façon équivalente :

$4 + \frac{x}{x ^{2} + 1} + 1 - \frac{x}{x ^{2} + x + 1} = 5 + \frac{1}{6}$

d'où

$\frac{1}{x + \frac{1}{x}} - \frac{1}{x + \frac{1}{x} + 1} = \frac{1}{6}$

En posant $u = x + \frac{1}{x}$ , l'équation se transforme en $\frac{1}{u} - \frac{1}{u + 1} = \frac{1}{6}$ , d'où $u (u + 1) = 6$ , par suite $u^{2} + u - 6 = 0$ . Ainsi, on a $(u - 2) (u + 3) = 0$ , c'est-à-dire $u = 2$ ou $u = - 3$ .

Si $u = 2$ , alors $x + \frac{1}{x} = 2$ , donc $(x - 1)^{2} = 0$ , d'où $x = 1$ .

Si $u = - 3$ , alors $x + \frac{1}{x} = - 3$ , donc $x^{2} + 3 x + 1 = 0$ , d'où $x = \frac{- 3 - 5}{2}$ ou $x = \frac{- 3 + 5}{2}$ .

Exemple

Résoudre l'équation :

$\frac{x ^{2}}{15} + \frac{48}{5 x ^{2}} = \frac{2 x}{3} - \frac{8}{x}$

En multipliant les deux membres de l'équation par 15 on obtient :

$x^{2} + \frac{144}{x ^{2}} = 10 x - 120/ x$

Posons $y = x - \frac{12}{x}$ , en prenant les carrés on arrive à $y^{2} - 10 y + 24 = 0$ , d'où $(y - 4) (y - 6) = 0$ . Ainsi, $y = 4$ ou $y = 6$ .

Si $y = 4$ , alors $x - \frac{12}{x} = 4$ , donc $(x - 6) (x + 2) = 0$ , ainsi $x = 6$ ou $x = - 2$ .

Si $y = 6$ , alors $x - \frac{12}{x} = 6$ , donc $x^{2} - 6 x - 12 = 0$ , ainsi $x = 3 - 21$ ou $x = 3 + 21$ .

Exemple

Résoudre l'équation :

$2 x^{2} - 3 x + \frac{2 - 3 x}{x ^{2}} = 1$

Comme $x \neq = 0$ , l'équation est équivalente à :

$2 (x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}) - 3 (x + \frac{1}{x}) = 1$

En posant $y = x + \frac{1}{x}$ , alors on obtient $2 y^{2} - 3 y - 4 = 1$ , c'est-à-dire $(2 y - 5) (y + 1) = 0$ . Ainsi, $y = \frac{5}{2}$ ou $y = - 1$ .

Si $y = \frac{5}{2}$ , alors $2 x + \frac{2}{x} = 5$ , ainsi $2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$ , donc $(2 x - 1) (x - 2) = 0$ , ainsi $x = \frac{1}{2}$ ou $x = 2$ .

Si $y = - 1$ , alors $x + \frac{1}{x} = - 1$ , ainsi $x^{2} + x + 1 = 0$ , pas de solutions réelles.

Exemple

Résoudre l'équation :

$x^{2} + (\frac{x}{x + 1})^{2} = 3$

Comme $a^{2} + b^{2} = (a - b)^{2} + 2 ab$ , alors l'équation est équivalente à :

$(x - \frac{x}{x + 1})^{2} + 2 \cdot \frac{x ^{2}}{x + 1} = 3$

donc

$(\frac{x ^{2}}{x + 1})^{2} + 2 \cdot \frac{x ^{2}}{x + 1} - 3 = 0$

En posant $y = \frac{x ^{2}}{x + 1}$ , alors on obtient $y^{2} + 2 y - 3 = 0$ , c'est-à-dire $(y + 3) (y - 1) = 0$ . Ainsi $y = - 3$ ou $y = 1$ .

Si $y = - 3$ , alors $\frac{x ^{2}}{x + 1} = - 3$ , d'où $x^{2} + 3 x + 3 = 0$ , pas de solutions réelles.

Si $y = 1$ , alors $\frac{x ^{2}}{x + 1} = 1$ , d'où $x^{2} - x - 1 = 0$ , les solutions sont $x = \frac{1 - 5}{2}$ et $x = \frac{1 + 5}{2}$ .

En conclusion, l'ensemble des solutions est ${\frac{1 - 5}{2}, \frac{1 + 5}{2}}$ .

4.5 Équations de degré supérieur

Exemple

Déterminer toutes les solutions réelles $(x, y, z)$ de l'équation :

$4 x y z - x^{4} - y^{4} - z^{4} = 1$

L'équation en question est équivalente successivement à :

$(x^{4} + 1) + (y^{4} + z^{4}) - 4 x y z = 0$

$(x^{4} - 2 x^{2} + 1) + (y^{4} - 2 y^{2} z^{2} + z^{4}) + 2 x^{2} - 2 x y z + y^{2} z^{2} = 0$

$(x^{2} - 1)^{2} + (y^{2} - z^{2})^{2} + 2 (x - y z)^{2} = 0$

Donc, $x = \pm 1$ , $y = \pm z$ , $x = y z$ . Finalement, les solutions sont :

$(x, y, z) = (1, 1, 1); (1, - 1, - 1); (- 1, 1, - 1); (- 1, - 1, 1)$

Exemple

Déterminer la plus grande racine réelle de l'équation :

$3 x^{7} - x^{4} - 30 x^{5} + 10 x^{2} + 3 x^{3} - 1 = 0$

En factorisant le membre de gauche on a :

$3 x^{3} (x^{4} - 10 x^{2} + 1) - (x^{4} - 10 x^{2} + 1) = 0$

d'où

$(3 x^{3} - 1) (x^{4} - 10 x^{2} + 1) = 0$

Si $3 x^{3} - 1 = 0$ , alors $x = \frac{1}{3 3}$ .
Si $x^{4} - 10 x^{2} + 1 = 0$ , alors $x^{2} = \frac{10 \pm 96}{2} = 5 \pm 26 = (3 \pm 2)^{2}$ , par suite $x = \pm (3 \pm 2)$ .

En conclusion, la plus grande racine réelle de l'équation est : $3 + 2$ .

Exemple

Résoudre l'équation :

$(6 x + 7)^{2} (3 x + 4) (x + 1) = 6$

En multipliant les deux membres de l'équation par 12 on déduit que :

$(6 x + 7)^{2} [(6 x + 8) (6 x + 6)] = 72$

d'où

$(6 x + 7)^{2} [(6 x + 7)^{2} - 1] = 72$

Posons $y = (6 x + 7)^{2}$ , alors $y \geq 0$ et $y^{2} - y - 72 = 0$ , c'est-à-dire $(y + 8) (y - 9) = 0$ . Donc $y = 9$ , et ainsi $6 x + 7 = \pm 3$ . Les solutions sont $x = - \frac{2}{3}$ et $x = - \frac{5}{3}$ .

Exemple

Déterminer le produit de toutes les racines réelles de l'équation :

$x^{2} + 2 x - \frac{6}{x ^{2} + 2 x - 12} = 13$

En posant $y = x^{2} + 2 x - 12$ , l'équation devient : $y - \frac{6}{y} = 1$ , c'est-à-dire $y^{2} - y - 6 = (y - 3) (y + 2) = 0$ .

Si $y = 3$ , alors $x^{2} + 2 x - 12 = 3$ , ce qui donne $x = 3$ ou $x = - 5$ .

Si $y = - 2$ , alors $x^{2} + 2 x - 12 = - 2$ , ce qui donne $x = - 1 - 11$ ou $x = - 1 + 11$ .

En conclusion, le produit de toutes les racines réelles est égal à :

$3 \times (- 5) \times (- 1 - 11) \times (- 1 + 11) = 150$

Exemple

Déterminer la différence entre la plus grande et la plus petite racine réelle de l'équation :

$(x^{2} - 5)^{4} + (x^{2} - 7)^{4} = 16$

En posant $y = x^{2} - 6$ , l'équation devient : $(y + 1)^{4} + (y - 1)^{4} = 16$ . Or, on sait que :

$(y + 1)^{4} = y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1,$

$(y - 1)^{4} = y^{4} - 4 y^{3} + 6 y^{2} - 4 y + 1$

Donc, l'équation s'écrit : $y^{4} + 6 y^{2} + 1 = 8$ , c'est-à-dire $y^{4} + 6 y^{2} - 7 = 0$ . D'où $(y^{2} + 7) (y^{2} - 1) = 0$ , ce qui donne $y = \pm 1$ .

Si $y = 1$ , alors $x^{2} - 6 = 1$ , ce qui donne $x = \pm 7$ .
Si $y = - 1$ , alors $x^{2} - 6 = - 1$ , ce qui donne $x = \pm 5$ .

En conclusion, la réponse est : $7 + 7 = 27$ .

Exemple

Résoudre l'équation :

$3 x^{4} + 2 x^{3} - 7 x^{2} - 2 x + 3 = 0$

Il est clair que 0 n'est pas une solution. Alors, en divisant l'équation par $x^{2}$ on obtient :

$3 (x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}) + 2 (x - \frac{1}{x}) - 7 = 0$

Posons $y = x - \frac{1}{x}$ , alors l'équation ci-dessus devient : $2 y^{2} + 2 y - 1 = 0$ , c'est-à-dire $(3 y - 1) (y + 1) = 0$ .

Si $y = - 1$ , alors $x^{2} + x - 1 = 0$ , ce qui donne $x = \frac{- 1 \pm 5}{2}$ .
Si $y = \frac{1}{3}$ , alors $3 x^{2} - x - 3 = 0$ , ce qui donne $x = \frac{1 \pm 37}{2}$ .

Exemple

Résoudre l'équation :

$x^{4} - 9 x^{3} + 2 (10 - a) x^{2} + 9 a x + a^{2} = 0$

où $a > 0$ est un paramètre réel.

On cherche à trouver une factorisation de cette expression. On a :

$x^{4} - 9 x^{3} + 2 (10 - a) x^{2} + 9 a x + a^{2} = a^{2} - (2 x^{2} - 9 x) a + (x^{4} - 9 x^{3} + 20 x^{2})$

$= a^{2} - x (2 x - 9) a + x^{2} (x - 4) (x - 5)$

$= [a - x (x - 5)] [a - x (x - 4)]$

$= (a - x^{2} + 5 x) (a - x^{2} + 4 x)$

$= (x^{2} - 5 x - a) (x^{2} - 4 x - a)$

L'équation $x^{2} - 5 x - a = 0$ entraîne que $x = \frac{5 \pm 25 + 4 a}{2}$ .
L'équation $x^{2} - 4 x - a = 0$ entraîne que $x = 2 \pm 4 + a$ .

4.6 Équations avec radicaux

Exemple

Résoudre l'équation :

$3 x - 3 + 7 x - 12 - 10 x + 9 = 0$

L'équation s'écrit : $3 x - 3 + 7 x - 12 = 10 x + 9$ , et en prenant les carrés on obtient :

$(3 x - 3) (7 x - 12) = 12$

En prenant à nouveau les carrés, on aboutit à : $21 x^{2} - 57 x - 108 = 0$ , c'est-à-dire $(3 x - 12) (7 x + 9) = 0$ . Donc, $x = 4$ ou $x = - \frac{9}{7}$ . En vérifiant les calculs, seule $x = 4$ est solution de l'équation.

Exemple

Résoudre l'équation :

$3 x - 1 + 3 x - 3 + 3 x - 5 = 0$

D'après le chapitre sur le calcul littéral on sait que si $a + b + c = 0$ alors $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3 ab c$ . Donc :

$(x - 1) + (x - 3) + (x - 5) = 3 \cdot 3 (x - 1) (x - 3) (x - 5)$

D'où $x - 3 = 3 (x - 1) (x - 3) (x - 5)$ , ce qui donne $3 x - 3 \cdot [3 (x - 3)^{2} - 3 (x - 1) (x - 5)] = 0$ .

Si $3 x - 3 = 0$ , alors $x = 3$ ;
Si $3 (x - 3)^{2} - 3 (x - 1) (x - 5) = 0$ , alors $9 = 5$ , impossible.

En conclusion, l'unique solution de l'équation est $x = 3$ .

Exemple

Résoudre l'équation :

$2 \cdot x (x + 6) - x - x + 6 = 14 - 2 x$

Puisque $(x + x + 6)^{2} = 2 x + 2 x (x + 6) + 6$ , alors l'équation s'écrit :

$2 x + 2 x (x + 6) + 6 - x - x + 6 - 20 = 0$

Posons $y = x + x + 6$ , alors $y \geq 0$ et $y^{2} - y - 20 = 0$ . Par suite $(y - 5) (y + 4) = 0$ . Ainsi $y = 5$ , ce qui donne :

$x + x + 6 = 5 \Rightarrow x + 6 = x + 25 - 10 x \Rightarrow x = (\frac{19}{10})^{2}$

Exemple

Résoudre l'équation :

$x + 1 + y + z - 4 = \frac{x + y + z}{2}$

En prenant les carrés l'équation devient :

$(x + 1 - 2 x + 1 + 1) + (y - 2 y + 1) + (z - 4 - 2 z - 4 + 1) = 0$

D'où : $(x + 1 - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 4 - 1)^{2} = 0$ , par suite :

$x + 1 = 1, y = 1, z - 4 = 1$

c'est-à-dire $x = 0, y = 1, z = 5$ .

Exemple

Résoudre l'équation :

$x^{2} - 4 x - 4 + x x^{2} - 2 x - 2 = 0$

Si $y = x^{2} - 2 x - 2$ alors $2 y^{2} + x y - x^{2} = 0$ , donc $(2 y - x) (y + x) = 0$ . Ainsi $y = \frac{x}{2}$ ou $y = - x$ .

Si $y = \frac{x}{2}$ , alors $x^{2} - 2 x - 2 = \frac{x}{2}$ , donc $3 x^{2} - 8 x - 8 = 0$ et $x \geq 0$ , ce qui donne $x = \frac{4 + 2 10}{3}$ ou $x = \frac{4 - 2 10}{3} < 0$ .
Si $x^{2} - 2 x - 2 = - x$ , alors $- 2 x - 2 = 0$ et $x \leq 0$ , ainsi $x = - 1$ .

En conclusion, les solutions de l'équation sont $x = \frac{4 + 2 10}{3}$ et $x = - 1$ .

Exemple

Résoudre l'équation :

$2 x + 2 x - 1 + 2 x - 2 x - 1 = 2$

On pose $u = 2 x + 2 x - 1$ et $v = 2 x - 2 x - 1$ , alors $u, v \geq 0$ et $u + v = 2$ et $u - v = \frac{u ^{2} - v ^{2}}{u + v} = 2 x - 1$ . Par suite, $2 u = 2 + 2 x - 1$ . En revenant à $x$ on a ainsi :

$2 2 x + 2 x - 1 = 2 + 2 x - 1$

d'où

$4 (2 x + 2 x - 1) = 4 + 2 x - 1 + 4 2 x - 1$

Donc, $6 x = 3$ , ce qui donne $x = \frac{1}{2}$ . Il est facile de vérifier que $x = \frac{1}{2}$ vérifie l'équation.

Exemple

Résoudre l'équation :

$4 x^{2} + 5 x - 2 - 4 x^{2} - 3 x - 2 = 2 x$

Il est clair que $x = 0$ n'est pas solution. On suppose dans la suite que $x \neq = 0$ , alors en divisant l'équation par $x$ on obtient :

$4 x - \frac{2}{x} + 5 - 4 x - \frac{2}{x} - 3 = 2$

En posant $y = 4 x - \frac{2}{x}$ , il s'ensuit que $y + 5 - y - 3 = 2$ . En prenant les carrés on arrive à :

$y + 5 = y + 1 + 4 y - 3$

par suite $y - 3 = 1$ , ce qui donne $y = 4$ . Maintenant, avec $y = 4$ on a :

$4 x - \frac{2}{x} = 4$

ce qui implique que $2 x^{2} - 2 x - 1 = 0$ , d'où $x = \frac{1 \pm 3}{2}$ . En conclusion, la seule solution de l'équation est $x = \frac{1 + 3}{2}$ .

Exemple

Résoudre l'équation :

$3 (1 + x)^{2} + 15 \cdot 3 (1 - x)^{2} = 8 \cdot 3 1 - x^{2}$

Il est clair que $x = \pm 1$ ne sont pas solutions de l'équation. On suppose dans la suite que $x^{2} \neq = 1$ , alors en divisant par $3 1 - x^{2}$ l'équation s'écrit :

$3 \frac{1 + x}{1 - x} + 15 \cdot 3 \frac{1 - x}{1 + x} = 8$

Le changement de variables $y = 3 \frac{1 + x}{1 - x}$ donne $y + \frac{15}{y} = 8$ , c'est-à-dire $y^{2} - 8 y + 15 = 0$ dont les solutions sont $y = 3$ et $y = 5$ .

Si $y = 3$ , alors $1 + x = 27 (1 - x)$ , ce qui donne $x = \frac{13}{14}$ .
Si $y = 5$ , alors $1 + x = 125 (1 - x)$ , ce qui donne $x = \frac{62}{63}$ .

Exemple

Si $x$ et $y$ sont deux réels vérifiant l'équation :

$x^{2} + 2 y + 4 + x^{2} + x - y + 5 = x^{2} + x + 3 y + 2 + x^{2} + 2 x + 3$

déterminer la valeur de $x + y$ .

Puisque :

$(x^{2} + x + 3 y + 2) - (x^{2} + 2 y + 4) = (x + y - 2) = (x^{2} + 2 x + 3) - (x^{2} + x - y + 5)$

alors l'équation peut s'écrire sous la forme :

$x^{2} + 2 y + 4 + x^{2} + x - y + 5 = x^{2} + 2 y + 4 + δ + x^{2} + x - y + 5 + δ$

où $δ = x + y - 2$ . Pour toute solution $(x, y)$ , le membre de droite est une fonction strictement croissante de $δ$ , donc c'est plus grand que le membre de gauche si $δ > 0$ , et plus petit que le membre de gauche si $δ < 0$ . Donc, $δ = 0$ pour toute solution $(x, y)$ . Ainsi, $x + y = 2$ .

L'équation en question admet une infinité de solutions réelles, par exemple, toute paire $(x, y)$ de nombres réels strictement positifs avec $x + y = 2$ est une solution.

4.7 Équations avec des puissances

Dans ce paragraphe on va étudier des équations qui font intervenir des puissances.

Exemple

Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que : $1 2^{200} < n^{300}$ .

L'idée est d'avoir le même exposant dans les puissances. On a :

$1 2^{200} < n^{300} \Leftrightarrow 14 4^{100} < (n^{3})^{100} \Leftrightarrow 144 < n^{3}$

Or $5^{3} < 144 < 6^{3}$ , et par suite $n = 6$ .

Exemple

Combien y a-t-il de solutions entières de l'équation :

$(x^{2} - 2 x - 4)^{x^{2} + 3 x + 2} = 1$

Pour résoudre les équations $f (x)^{g (x)} = 1$ il y a trois cas à distinguer :

$g (x) = 0$ et $f (x) \neq = 0$ ,
$f (x) = 1$ ,
$f (x) = - 1$ et $g (x)$ est un nombre pair.

Revenons maintenant à notre exemple :

Si $x^{2} + 3 x + 2 = 0$ et $x^{2} - 2 x - 4 \neq = 0$ , alors $x = - 1$ ou $x = - 2$ .
Si $x^{2} - 2 x - 4 = 1$ , alors $x = 1 - 6$ ou $x = 1 + 6$ .
Si $x^{2} - 2 x - 4 = - 1$ et $x^{2} + 3 x + 2$ est un nombre pair, alors $x = 3$ ou $x = - 1$ .

En conclusion, il y a 3 solutions entières de l'équation.

Exemple (Corée)

Résoudre l'équation :

$2^{x} + 3^{x} - 4^{x} + 6^{x} - 9^{x} = 1$

On pose $2^{x} = a$ et $3^{x} = b$ , alors l'équation devient :

$1 + a^{2} + b^{2} - a - b - ab = 0$

En multipliant cette équation par 2, on déduit que :

$(1 - a)^{2} + (a - b)^{2} + (b - 1)^{2} = 0$

Par conséquent $a = b = 1$ , et ainsi $x = 0$ est l'unique solution de l'équation.

Exemple (États-Unis)

Résoudre l'équation :

$1 0^{x} + 1 1^{x} + 1 2^{x} = 1 3^{x} + 1 4^{x}$

Il est facile de voir que $x = 2$ est une solution de l'équation. On va montrer que c'est la seule solution. On divise l'équation par $1 3^{x}$ alors on obtient :

$(\frac{10}{13})^{x} + (\frac{11}{13})^{x} + (\frac{12}{13})^{x} = 1 + (\frac{14}{13})^{x}$

Exemple

Quel est le nombre de solutions de l'équation :

$5^{2 x} - 26 \cdot 5^{x} + 5^{2 x} - 26 \cdot 5^{x} + 26 = - 24$

En posant $y = 5^{2 x} - 26 \cdot 5^{x} + 26$ alors l'équation devient $y^{2} + y - 2 = 0$ , d'où $y = 1$ . Maintenant :

$5^{2 x} - 26 \cdot 5^{x} + 26 = 1 \Rightarrow (5^{x} - 1) (5^{x} - 25) = 0 \Rightarrow x \in {0, 2}$

En conclusion, il y a deux solutions.

Corollaire 3

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels positifs, alors :

$\frac{a ^{2} + b ^{2}}{2} \geq \frac{a + b}{2} .$

Preuve

Puisque $a^{2} + b^{2} \geq 2 ab$ si et seulement si $2 a^{2} + 2 b^{2} \geq a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2}$ , alors on déduit l'inégalité recherchée.

Corollaire 4

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels strictement positifs, alors :

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2.$

En particulier, si $b = 1$ alors $a + \frac{1}{a} \geq 2$ .

Preuve

Comme $a^{2} + b^{2} \geq 2 ab$ , alors en divisant les deux membres par $ab > 0$ on déduit l'inégalité recherchée.

Corollaire 5

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels positifs, alors :

$\frac{a + b}{2} \geq ab .$

Preuve

En remplaçant $a, b$ par $a, b$ dans $a^{2} + b^{2} \geq 2 ab$ on déduit que : $a + b \geq 2 ab$ .

Corollaire 6

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels strictement positifs, alors :

$ab \geq \frac{2 ab}{a + b} .$

Preuve

D'après le corollaire précédent on a : $\frac{a + b}{2} \geq ab$ , donc $\frac{2}{a + b} \leq \frac{1}{ab}$ , il suffit de multiplier par $ab$ pour conclure.

Théorème (inégalités de la moyenne)

Pour tout réels strictement positifs $a$ et $b$ on a :

$\frac{2 ab}{a + b} \leq ab \leq \frac{a + b}{2} \leq \frac{a ^{2} + b ^{2}}{2} .$

Démonstration

Théorème

Pour tout réels positifs $x, y, z$ on a :

$\frac{x + y + z}{3} \geq 3 x y z,$

avec égalité si, et seulement si, $x = y = z$ .

Démonstration

Exemple

Pour tout réel $x$ on a :

$\frac{x ^{2} + 2}{x ^{2} + 1} \geq 2.$

On a : $\frac{x ^{2} + 2}{x ^{2} + 1} = \frac{x ^{2} + 1}{x ^{2} + 1} + \frac{1}{x ^{2} + 1} = x^{2} + 1 + \frac{1}{x ^{2} + 1} \geq 2$ .

Exemple

Soient $a, b, c$ des nombres réels positifs. Montrer que :

$(a + b) (b + c) (c + a) \geq 8 ab c .$

On sait que $\frac{a + b}{2} \geq ab$ , $\frac{b + c}{2} \geq b c$ et $\frac{a + c}{2} \geq a c$ , alors :

$\frac{a + b}{2} \cdot \frac{b + c}{2} \cdot \frac{a + c}{2} \geq a^{2} b^{2} c^{2} = ab c .$

Équations et inéquations — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

4.3 Équations avec valeur absolue

Exemple

Exemple

Exemple

Exemple

4.4 Équations avec des fractions

Exemple

Exemple

Exemple

Exemple

Exemple

Exemple

Exemple

Exemple

4.5 Équations de degré supérieur

Exemple

Exemple

Exemple

Exemple

Exemple

Exemple

Exemple

4.6 Équations avec radicaux

Exemple

Exemple

Exemple

Exemple

Exemple

Exemple

Exemple

Exemple

Exemple

4.7 Équations avec des puissances

Exemple

Exemple

Exemple (Corée)

Exemple (États-Unis)

Exemple

Exemple

Exemple (Corée)

Exemple (États-Unis)

Exemple

Corollaire 3

Preuve

Corollaire 4

Preuve

Corollaire 5

Preuve

Corollaire 6

Preuve

Théorème (inégalités de la moyenne)

Démonstration

Théorème

Démonstration

Exemple

Exemple

4.3 Équations avec valeur absolue

Exemple

Exemple

Exemple

Exemple

4.4 Équations avec des fractions

Exemple

Exemple

Exemple

Exemple

Exemple

Exemple

Exemple

Exemple

4.5 Équations de degré supérieur

Exemple

Exemple

Exemple

Exemple

Exemple