5.5 Exemples

Exemple

À la boulangerie, Myriam achète un croissant et deux pains aux raisins pour 3 euros. Dans la même boulangerie, Karim achète deux croissants et un pain aux raisins pour 2,70 euros. Quels sont les prix d'un croissant et d'un pain aux raisins ?

On note $x$ le prix d'un croissant et $y$ le prix d'un pain aux raisins en euros. Alors le problème revient à résoudre le système :

$$\{\begin{array}{l}x+2y=3\\ 2x+y=2,7\end{array}$$

On peut résoudre ce système par substitution ou par addition. Par substitution on a $x=3-2y$, et ainsi $6-4y+y=2,7$, ce qui donne $y=1,1$. Ensuite en remplaçant $y$ par $1,1$ dans $x=3-2y$ on déduit que $x=3-2\times 1,1=3-2,2=0,8$. En conclusion, dans cette boulangerie un croissant coûte 0,80 euros et un pain aux raisins coûte 1,10 euros.

Exemple

Résoudre le système d'équations :

$$\{\begin{array}{l}\frac{x-y}{5}-\frac{x+y}{4}=\frac{1}{2}\\ 2(x-y)-3(x+y)=0\end{array}$$

La première équation du système s'écrit $4(x-y)-5(x+y)=10$, c'est-à-dire $x+9y=-10$. La seconde équation du système s'écrit $x+5y=1$. Par soustraction on trouve $4y=-11$, c'est-à-dire $y=-\frac{11}{4}$, et finalement $x=1-5y=\frac{59}{4}$.

Exemple

Résoudre le système $$\{\begin{array}{l}2x+ay=3\\ ax+2y=\frac{3}{2}\end{array}$$ où $a$ est un paramètre réel.

En soustrayant $-\frac{a}{2}$ fois la première équation de la seconde, on obtient le système équivalent :

$$\{\begin{array}{l}2x+ay=3\\ \left(2-\frac{a^2}{2}\right)y=\frac{3}{2}(1-a)\end{array}$$

◇ Si $a\ne \pm 2$, alors $y=\frac{3(1-a)}{4-a^2}$ et $x=\frac{1}{2}(3-ay)=\frac{3(4-a)}{2(4-a^2)}$.

◇ Si $a=\pm 2$, alors la seconde équation donne $0y=\frac{3}{2}(1\mp 2)$, impossible.

Exemple

Résoudre le système d'équations

$$\{\begin{array}{l}\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{5}\\ x+3y+6z=15\end{array}$$

Posons $t=\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{5}$, alors $x=2t$, $y=3t$ et $z=5t$. En substituant dans la seconde équation du système on déduit que :

$$2t+9t+30t=15\text{ c’est-aˋ-dire }t=\frac{15}{41}$$

Ainsi, $x=\frac{30}{41}$, $y=\frac{45}{41}$ et $z=\frac{75}{41}$.

Exemple

Résoudre le système d'équations

$$\{\begin{array}{l}x+y=5\\ y+z=6\\ z+x=7\end{array}$$

En additionnant les 3 équations du système on déduit que :

$$x+y+z=9$$

Par conséquent :

$$z=(x+y+z)-(x+y)=9-5=4$$ $$x=(x+y+z)-(y+z)=9-6=3$$ $$y=(x+y+z)-(z+x)=9-7=2$$

Exemple

Résoudre le système d'équations

$$\{\begin{array}{l}x+2y=5\\ y+2z=8\\ z+2u=11\\ u+2x=6\end{array}$$

D'après les équations du système on déduit que :

$$x=5-2y,y=8-2z,z=11-2u,u=6-2x$$

Par substitution on a alors :

$$x=5-2y=5-2(8-2z)=-11+4z=-11+4(11-2u)=33-8u=33-8(6-2x)=-15+16x$$

Par conséquent $x=16x-15$ ce qui donne $x=1$, et ainsi $u=4$, $z=3$ et $y=2$.

Exemple

Résoudre le système suivant :

$$\{\begin{array}{l}5x-y+3z=a\\ 5y-z+3x=b\\ 5z-x+3y=c\end{array}$$

L'égalité $2(5x-y+3z)+(5y-z+3x)-(5z-x+3y)=2a+b-c$ donne :

$$14x=2a+b-c\text{ c’est-aˋ-dire }x=\frac{2a+b-c}{14}$$

L'égalité $2(5y-z+3x)+(5z-x+3y)-(5x-y+3z)=2b+c-a$ donne :

$$14y=2b+c-a\text{ c’est-aˋ-dire }y=\frac{2b+c-a}{14}$$

L'égalité $2(5z-x+3y)+(5x-y+3z)-(5y-z+3x)=2c+a-b$ donne :

$$14z=2c+a-b\text{ c’est-aˋ-dire }z=\frac{2c+a-b}{14}$$

Exemple

On suppose que $x$, $y$ et $z$ vérifient le système d'équations :

$$\{\begin{array}{l}2020(x-y)+2021(y-z)+2022(z-x)=0\\ 2020^2(x-y)+2021^2(y-z)+2022^2(z-x)=2021\end{array}$$

Déterminer la valeur de $z-y$.

Posons $u=x-y$, $v=y-z$ et $w=z-x$, alors $u$, $v$, $w$ vérifient le système d'équations :

$$\{\begin{array}{l}u+v+w=0\\ 2020u+2021v+2022w=0\\ 2020^{2}u+2021^{2}v+2022^{2}w=2021\end{array}$$

L'égalité $2001\cdot (u+v+w)-(2020u+2021v+2022w)=0$ donne $u-w=0$, c'est-à-dire $u=w$. Puisque $u+v+w=0$ on déduit alors que $v=-2w$. Ainsi, d'après la troisième équation du système ci-dessus on a :

$$\left(2020^2-2\cdot 2021^2+2022^2\right)w=2021$$

D'où

$$[(2022+2021)-(2021+2020)]w=2021$$

donc $2w=2021$ et :

$$z-y=-v=2w=2021$$

Exemple

Trouver tous les couples $(x,y)$ de réels vérifiant les deux équations :

$$\frac{xy}{3x+2y}=\frac{1}{8}\text{et}\frac{xy}{2x+3y}=\frac{1}{7}$$

L'équation $\frac{xy}{3x+2y}=\frac{1}{8}$ entraîne que $\frac{3x+2y}{xy}=8$, et donc $\frac{2}{x}+\frac{3}{y}=8$. De même, la deuxième équation entraîne que $\frac{3}{x}+\frac{2}{y}=7$. En posant $u=\frac{1}{x}$ et $v=\frac{1}{y}$, le système devient :

$$\{\begin{array}{l}2u+3v=8\\ 3u+2v=7\end{array}$$

La résolution de ce système donne $u=1$ et $v=2$. En conclusion, $x=1$ et $y=\frac{1}{2}$.

Exemple (Chine)

Déterminer toutes les solutions réelles strictement positives du système :

$$\{\begin{array}{l}{x}^3+y^3+z^3=x+y+z\\ x^2+y^2+z^2=xyz\end{array}$$

Sans perte de généralité, on peut supposer que $x\ge y\ge z>0$. De l'équation $xyz=x^2+y^2+z^2>2xy$ on déduit que $z>2$, donc $x,y,z>2$ et :

$$\left(x^3+y^3+z^3\right)-(x+y+z)=x\left(x^2-1\right)+y\left(y^2-1\right)+z\left(z^2-1\right)>6$$

Par conséquent, le système n'admet pas de solutions.

Exemple (Autriche)

Déterminer tous les réels $a,b,c,d,e,f$ vérifiant le système d'équations :

$$\{\begin{array}{l}4a=(b+c+d+e{)}^4\\ 4b=(c+d+e+f{)}^4\\ 4c=(d+e+f+a{)}^4\\ 4d=(e+f+a+b{)}^4\\ 4e=(f+a+b+c{)}^4\\ 4f=(a+b+c+d{)}^4\end{array}$$

Comme le membre de droite de chacune des 6 équations du système est positif, alors on déduit que les réels $a,b,c,d,e,f$ sont tous positifs. Il est clair que si $a=b=c=d=e=f$ alors $4a=(4a{)}^4$ ce qui donne $a=0$ ou $a=\frac{1}{4}$. D'où $(a,b,c,d,e,f)=(0,0,0,0,0,0)$ ou $\left(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right)$ sont solutions du système. Montrons qu'il n'en y a pas d'autres. Remarquons que les variables sont cycliques dans les équations, il suffit alors d'étudier le cas $a\ne b$ par exemple. On va supposer que $a<b$, l'autre cas $a>b$ se traite de façon similaire. On a :

$$a<b\Rightarrow b+c+d+e<c+d+e+f\Rightarrow b<f\Rightarrow a<f$$ $$a<f\Rightarrow b+c+d+e<a+b+c+d\Rightarrow e<a\Rightarrow e<f$$ $$e<f\Rightarrow f+a+b+c<a+b+c+d\Rightarrow f<d\Rightarrow e<d$$ $$e<d\Rightarrow f+a+b+c<e+f+a+b\Rightarrow c<e\Rightarrow c<d$$ $$c<d\Rightarrow d+e+f+a<e+f+a+b\Rightarrow d<b\Rightarrow d<b<c<d$$

contradiction. En conclusion, les seules solutions sont :

$$(a,b,c,d,e,f)=(0,0,0,0,0,0)\text{ou}(a,b,c,d,e,f)=\left(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right)$$

Exemple (Moldavie)

Déterminer toutes les solutions réelles du système d'équations :

$$\{\begin{array}{l}{x}^3+3x{y}^2=49\\ x^2+8xy+y^2=8y+17x\end{array}$$

En multipliant la seconde équation par $3x$, puis en soustrayant la première équation on obtient :

$$2x^3+24x^{2}y-51x^2-24xy+49=0\text{c’est-aˋ-dire}(x-1)\left(2x^2+24xy-49x-49\right)=0$$

◇ Si $x-1=0$, alors par la première équation du système on a : $3y^2=48$, d'où $y=\pm 4$.

◇ Si $2x^2+24xy-49x+49=0$, alors par la première équation du système on a :

$$2x^2+24xy-49x=x^3+3x{y}^2\text{d’ouˋ}2x+24y-49=x^2+3y^2$$

par suite : $(x-1{)}^2+3(y-4{)}^2=0$, ce qui donne $x=1$, $y=4$. En conclusion, le système d'équations admet comme solutions $(x,y)=(1,4)$ et $(x,y)=(1,-4)$.

Exemple (Tchéquie-Slovaquie-Pologne)

Soit $n$ un entier strictement positif. Déterminer tous les réels positifs $x_1,x_2,\dots ,x_n$ tels que :

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+\frac{x_2}{2}+\frac{x_3}{3}+\cdots +\frac{x_n}{n}=n\\ x_1+2x_2+3x_3+\cdots +n{x}_n=\frac{n(n+1)}{2}\end{array}$$

En soustrayant la seconde équation de la première, et en faisant passer tous les termes de l'équation obtenue à gauche on obtient :

$$0=x_1+\frac{x_2}{2}+\frac{x_3}{3}+\cdots +\frac{x_n}{n}-n-\left[x_1+2x_2+3x_3+\cdots +n{x}_n-\frac{n(n+1)}{2}\right]$$ $$=\left(\frac{x_2}{2}-2x_2+2-1\right)+\left(\frac{x_3}{3}-3x_3+3-1\right)+\cdots +\left(\frac{x_n}{n}-n{x}_n+n-1\right)$$

Pour tout entier $k\ge 2$, et tout réel $x\ge 0$, on a d'après l'inégalité entre la moyenne arithmétique et géométrique :

$$\frac{x}{k}+k-1=\frac{x}{k}+\underset{k-1}{\underbrace{1+1+\cdots +1}}\ge k\cdot \sqrt[k]{\frac{x}{k}}=kx$$

avec égalité si, et seulement si, $x=1$, donc $x_2=x_3=\cdots =x_n=1$. Alors, la première équation du système donne $x_1=1$. En conclusion, $x_1=x_2=\cdots =x_n=1$.

5.1 Système d'équations

Définition

Une équation du premier degré à deux inconnues est une égalité comportant deux inconnues désignées par deux lettres différentes dont les exposants sont égaux à 1.

Exemple : $2x+3y=10$ est une équation du premier degré à deux inconnues $x$ et $y$. Le couple $(2;2)$ est une des solutions de cette équation car $2\times 2+3\times 2=10$.

Définition

• Un système de deux équations du premier degré à deux inconnues désignées par $x$ et $y$ est de la forme : $$\begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases}$$ avec $a,b,c,a^{\prime },b^{\prime }$ et $c^{\prime }$ des nombres donnés.
• Résoudre un système de deux équations du premier degré à deux inconnues, c'est trouver tous les couples $(x;y)$ qui sont solutions des deux équations.

Exemple : le système $$\begin{cases} 2x + 3y = -4 \\ 4x + y = 2 \end{cases}$$ a pour solution le couple $(1;-2)$ car ce couple est solution des deux équations. En effet, $2\times 1+3\times (-2)=-4$ et $4\times 1+(-2)=2$.

Remarque : On peut résoudre ce système grâce à une résolution graphique. La solution étant le point d'intersection des droites d'équations $2x+3y=-4$ et $4x+y=2$.

Théorème

• Si $\frac{a_1}{a_2}\ne \frac{b_1}{b_2}$, alors le système $$\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$$ admet une unique solution : $$x=\frac{c_1{b}_2-c_2{b}_1}{a_1{b}_2-a_2{b}_1},y=\frac{a_1{c}_2-a_2{c}_1}{a_1{b}_2-a_2{b}_1}.$$
• Si $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$, alors le système est formé de deux équations identiques, il admet une infinité de solutions.
• Si $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne \frac{c_1}{c_2}$, le système n'admet aucune solution.

Démonstration

On a : $$b_2(a_{1}x+b_{1}y-c_1)-b_1(a_{2}x+b_{2}y-c_2)=b_2\times 0-b_1\times 0=0,$$ $$-a_2(a_{1}x+b_{1}y-c_1)+a_1(a_{2}x+b_{2}y-c_2)=-a_2\times 0+a_1\times 0=0.$$

Par conséquent, on a le système suivant : $$\begin{cases} (a_1b_2 - a_2b_1)x = c_1b_2 - c_2b_1, \\ (a_1b_2 - a_2b_1)y = a_1c_2 - a_2c_1. \end{cases}$$

• Si $a_1{b}_2-a_2{b}_1\ne 0$, alors le système admet une solution unique : $$x=\frac{c_1{b}_2-c_2{b}_1}{a_1{b}_2-a_2{b}_1}\text{et}y=\frac{a_1{c}_2-a_2{c}_1}{a_1{b}_2-a_2{b}_1}.$$
• Si $a_1{b}_2-a_2{b}_1=0$, alors le système admet une infinité de solutions si $c_1{b}_2-c_2{b}_1=a_1{c}_2-a_2{c}_1=0$, et il n'admet aucune solution si $c_1{b}_2-c_2{b}_1\ne 0$ ou $a_1{c}_2-a_2{c}_1\ne 0$.

Le nombre de solutions du système est égal au nombre de points d'intersection des droites d'équations $a_{1}x+b_{1}y-c_1=0$ et $a_{2}x+b_{2}y-c_2=0$.

5.2 Résoudre un système par substitution

Exemple

Résoudre le système suivant par substitution : $$\begin{cases} x - 4y = 6 \\ 2x + 5y = -1 \end{cases}$$

La résolution se fait en 5 étapes que nous allons détailler ci-dessous.

1. J'utilise une des deux équations pour exprimer l'inconnue $x$ en fonction de l'inconnue $y$ : $x-4y=6$ a les mêmes solutions que $x=4y+6$.
2. Dans l'autre équation, je remplace $x$ par son expression en fonction de $y$ : $2(4y+6)+5y=-1$.
3. Je résous l'équation obtenue et je trouve ainsi la valeur de $y$ : $2(4y+6)+5y=-1$ donc $8y+12+5y=-1$ d'où $13y=-13$ et ainsi $y=-1$.
4. Je remplace maintenant $y$ par sa valeur dans l'équation exprimant $x$ en fonction de $y$, puis je résous cette équation pour trouver la valeur de $x$ : $x=4y+6$ devient $x=4\times (-1)+6=-4+6=2$.
5. J'écris le couple-solution du système en faisant attention à l'ordre des nombres dans les parenthèses : le couple-solution du système $\{\begin{array}{l}x-4y=6\\ 2x+5y=-1\end{array}$ est $(2;-1)$.

5.3 Résoudre un système par addition ou soustraction

Exemple

Résoudre le système suivant par la méthode d'addition : $$\begin{cases} 3x + 4y = 11 \\ 2x - 8y = -14 \end{cases}$$

La résolution se fait en 4 étapes que nous allons détailler ci-dessous.

1. Je multiplie une des équations, ou les deux, par un nombre de façon à obtenir deux termes opposés dans chacune des équations : on a $2\times (3x+4y)=2\times 11$ donc le système devient $$\begin{cases} 6x + 8y = 22 \\ 2x - 8y = -14 \end{cases}.$$
2. J'additionne membre à membre les équations et je réduis. J'obtiens une nouvelle équation d'inconnue $x$ que je peux résoudre : $6x+8y+2x-8y=22+(-14)$ d'où $8x=8$ par suite $x=1$.
3. Dans une des deux équations de départ, je remplace $x$ par $1$ puis je résous l'équation obtenue pour obtenir la valeur de $y$ : $3\times 1+4y=11$ d'où $4y=8$ et par suite $y=2$.
4. J'écris le couple-solution du système et je peux vérifier que j'ai trouvé la bonne réponse en remplaçant $x$ et $y$ respectivement par $1$ et $2$ dans les équations du système : $(1;2)$ est le couple-solution du système car $3\times 1+4\times 2=11$ et $2\times 1-8\times 2=-14$.

5.4 Somme et produit

Dans ce paragraphe on étudie les systèmes d'équations du type : $$\begin{cases} x + y = S \\ xy = P \end{cases}$$ où $S$ et $P$ sont deux réels donnés. Le résultat principal est le :

Théorème

Soient $S$ et $P$ deux réels donnés. Le système d'équations $$\begin{cases} x + y = S \\ xy = P \end{cases}$$ admet des solutions si, et seulement si, $S^2\ge 4P$. De plus, dans ce cas, les solutions sont données par $x=\alpha ,y=\beta$ (ou $x=\beta ,y=\alpha$), où $\alpha$ et $\beta$ sont les racines de l'équation du second degré $u^2-Su+P=0$.

Démonstration

Si $\alpha$ et $\beta$ sont les racines de $u^2-Su+P=0$, alors d'après les formules de Viète on sait que $\alpha +\beta =S$ et $\alpha \beta =P$. Donc, les paires $(x,y)=(\alpha ,\beta )$ et $(x,y)=(\beta ,\alpha )$ vérifient le système d'équations.

Réciproquement, si $x=x_0,y=y_0$ est une solution du système d'équations, alors la première équation implique que $y_0=S-x_0$, et la seconde donne $P=x_0{y}_0=x_0(S-x_0)$, c'est-à-dire $x_0^2-S{x}_0+P=0$. Ainsi, $x_0$ est racine de l'équation $u^2-Su+P=0$, ce qui donne $x_0=\alpha$ ou $x_0=\beta$. Puisque $\alpha +\beta =S$, alors on a deux possibilités :

• Si $x_0=\alpha$, alors $y_0=S-x_0=S-\alpha =\beta$.
• Si $x_0=\beta$, alors $y_0=S-x_0=S-\beta =\alpha$.

5.5 Exemples

Exemple

À la boulangerie, Myriam achète un croissant et deux pains aux raisins pour 3 euros. Dans la même boulangerie, Karim achète deux croissants et un pain aux raisins pour 2,70 euros. Quels sont les prix d'un croissant et d'un pain aux raisins ?

On note $x$ le prix d'un croissant et $y$ le prix d'un pain aux raisins en euros. Alors le problème revient à résoudre le système : $$\begin{cases} x + 2y = 3 \\ 2x + y = 2,7 \end{cases}$$

On peut résoudre ce système par substitution ou par addition. Par substitution on a $x=3-2y$, et ainsi $6-4y+y=2,7$, ce qui donne $y=1,1$. Ensuite en remplaçant $y$ par $1,1$ dans $x=3-2y$ on déduit que $x=3-2\times 1,1=3-2,2=0,8$. En conclusion, dans cette boulangerie un croissant coûte 0,80 euros et un pain aux raisins coûte 1,10 euros.

Exemple

Résoudre le système d'équations : $$\begin{cases} \frac{x - y}{5} - \frac{x + y}{4} = \frac{1}{2}, \\ 2(x - y) - 3(x + y) = 0. \end{cases}$$

La première équation du système s'écrit $4(x-y)-5(x+y)=10$, i.e., $x+9y=-10$. La seconde équation du système s'écrit $x+5y=1$. Par soustraction on trouve $4y=-11$, c'est-à-dire $y=-\frac{11}{4}$, et finalement $x=1-5y=\frac{59}{4}$.

Exemple

Résoudre le système $$\begin{cases} 2x + ay = 3 \\ ax + 2y = \frac{3}{2} \end{cases}$$ où $a$ est un paramètre réel.

En soustrayant $-\frac{a}{2}$ fois la première équation de la seconde, on obtient le système équivalent : $$\begin{cases} 2x + ay = 3, \\ \left(2 - \frac{a^2}{2}\right)y = \frac{3}{2}(1 - a). \end{cases}$$

• Si $a\ne \pm 2$, alors $y=\frac{3(1-a)}{4-a^2}$ et $x=\frac{1}{2}(3-ay)=\frac{3(4-a)}{2(4-a^2)}$.
• Si $a=\pm 2$, alors la seconde équation donne $0y=\frac{3}{2}(1\mp 2)$, impossible.

Exemple

Résoudre le système d'équations $$\begin{cases} \frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5}, \\ x + 3y + 6z = 15. \end{cases}$$

Posons $t=\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{5}$, alors $x=2t,y=3t$ et $z=5t$. En substituant dans la seconde équation du système on déduit que : $2t+9t+30t=15$ c'est-à-dire $t=\frac{15}{41}$. Ainsi, $x=\frac{30}{41},y=\frac{45}{41}$ et $z=\frac{75}{41}$.

Exemple

Résoudre le système d'équations $$\begin{cases} x + y = 5, \\ y + z = 6, \\ z + x = 7. \end{cases}$$

En additionnant les 3 équations du système on déduit que : $x+y+z=9$. Par conséquent : $z=(x+y+z)-(x+y)=9-5=4$, $x=(x+y+z)-(y+z)=9-6=3$, $y=(x+y+z)-(z+x)=9-7=2$.

Exemple

Résoudre le système d'équations $$\begin{cases} x + 2y = 5, \\ y + 2z = 8, \\ z + 2u = 11, \\ u + 2x = 6. \end{cases}$$

D'après les équations du système on déduit que : $x=5-2y,y=8-2z,z=11-2u,u=6-2x$.

Par substitution on a alors : $x=5-2y=5-2(8-2z)=-11+4z=-11+4(11-2u)=33-8u=33-8(6-2x)=-15+16x$. Par conséquent $x=16x-15$ ce qui donne $x=1$, et ainsi $u=4,z=3$ et $y=2$.

Exemple

Résoudre le système suivant : $$\begin{cases} 5x - y + 3z = a, \\ 5y - z + 3x = b, \\ 5z - x + 3y = c. \end{cases}$$

L'égalité $2(5x-y+3z)+(5y-z+3x)-(5z-x+3y)=2a+b-c$ donne : $14x=2a+b-c$ c'est-à-dire $x=\frac{2a+b-c}{14}$.

L'égalité $2(5y-z+3x)+(5z-x+3y)-(5x-y+3z)=2b+c-a$ donne : $14y=2b+c-a$ c'est-à-dire $y=\frac{2b+c-a}{14}$.

L'égalité $2(5z-x+3y)+(5x-y+3z)-(5y-z+3x)=2c+a-b$ donne : $14z=2c+a-b$ c'est-à-dire $z=\frac{2c+a-b}{14}$.

Exemple

On suppose que $x,y$ et $z$ vérifient le système d'équations : $$\begin{cases} 2020(x - y) + 2021(y - z) + 2022(z - x) = 0, \\ 2020^2(x - y) + 2021^2(y - z) + 2022^2(z - x) = 2021. \end{cases}$$ Déterminer la valeur de $z-y$.

Posons $u=x-y,v=y-z$ et $w=z-x$, alors $u,v,w$ vérifient le système d'équations : $$\begin{cases} u + v + w = 0, \\ 2020u + 2021v + 2022w = 0, \\ 2020^2u + 2021^2v + 2022^2w = 2021. \end{cases}$$

L'égalité $2001\cdot (u+v+w)-(2020u+2021v+2022w)=0$ donne $u-w=0$, i.e., $u=w$. Puisque $u+v+w=0$ on déduit alors que $v=-2w$. Ainsi, d'après la troisième équation du système ci-dessus on a : $\left(2020^2-2\cdot 2021^2+2022^2\right)w=2021$. D'où $[(2022+2021)-(2021+2020)]w=2021$, donc $2w=2021$ et : $z-y=-v=2w=2021$.

Exemple

Trouver tous les couples $(x,y)$ de réels vérifiant les deux équations : $\frac{xy}{3x+2y}=\frac{1}{8}$ et $\frac{xy}{2x+3y}=\frac{1}{7}$.

L'équation $\frac{xy}{3x+2y}=\frac{1}{8}$ entraîne que $\frac{3x+2y}{xy}=8$, et donc $\frac{2}{x}+\frac{3}{y}=8$. De même, la deuxième équation entraîne que $\frac{3}{x}+\frac{2}{y}=7$. En posant $u=\frac{1}{x}$ et $v=\frac{1}{y}$, le système devient : $$\begin{cases} 2u + 3v = 8, \\ 3u + 2v = 7. \end{cases}$$ La résolution de ce système donne $u=1$ et $v=2$. En conclusion, $x=1$ et $y=\frac{1}{2}$.

Exemple (Chine)

Déterminer toutes les solutions réelles strictement positives du système : $$\begin{cases} x^3 + y^3 + z^3 = x + y + z, \\ x^2 + y^2 + z^2 = xyz. \end{cases}$$

Sans perte de généralité, on peut supposer que $x\ge y\ge z>0$. De l'équation $xyz=x^2+y^2+z^2>2xy$ on déduit que $z>2$, donc $x,y,z>2$ et : $$\left(x^3+y^3+z^3\right)-(x+y+z)=x(x^2-1)+y(y^2-1)+z(z^2-1)>6.$$ Par conséquent, le système n'admet pas de solutions.

Exemple (Autriche)

Déterminer tous les réels $a,b,c,d,e,f$ vérifiant le système d'équations : $$\begin{cases} 4a = (b + c + d + e)^4, \\ 4b = (c + d + e + f)^4, \\ 4c = (d + e + f + a)^4, \\ 4d = (e + f + a + b)^4, \\ 4e = (f + a + b + c)^4, \\ 4f = (a + b + c + d)^4. \end{cases}$$

Comme le membre de droite de chacune des 6 équations du système est positif, alors on déduit que les réels $a,b,c,d,e,f$ sont tous positifs. Il est clair que si $a=b=c=d=e=f$ alors $4a=(4a{)}^4$ ce qui donne $a=0$ ou $a=\frac{1}{4}$. D'où $(a,b,c,d,e,f)=(0,0,0,0,0,0)$ ou $\left(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right)$ sont solutions du système. Montrons qu'il n'en y a pas d'autres. Remarquons que les variables sont cycliques dans les équations, il suffit alors d'étudier le cas $a\ne b$ par exemple. On va supposer que $a<b$, l'autre cas $a>b$ se traite de façon similaire. On a : $a<b\Rightarrow b+c+d+e<c+d+e+f\Rightarrow b<f\Rightarrow a<f$ $a<f\Rightarrow b+c+d+e<a+b+c+d\Rightarrow e<a\Rightarrow e<f$ $e<f\Rightarrow f+a+b+c<a+b+c+d\Rightarrow f<d\Rightarrow e<d$ $e<d\Rightarrow f+a+b+c<e+f+a+b\Rightarrow c<e\Rightarrow c<d$ $c<d\Rightarrow d+e+f+a<e+f+a+b\Rightarrow d<b\Rightarrow d<b<c<d$, contradiction. En conclusion, les seules solutions sont : $(a,b,c,d,e,f)=(0,0,0,0,0,0)$ ou $(a,b,c,d,e,f)=\left(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right)$.

Exemple (Moldavie)

Déterminer toutes les solutions réelles du système d'équations : $$\begin{cases} x^3 + 3xy^2 = 49, \\ x^2 + 8xy + y^2 = 8y + 17x. \end{cases}$$

En multipliant la seconde équation par $3x$, puis en soustrayant la première équation on obtient : $2x^3+24x^{2}y-51x^2-24xy+49=0$ c'est-à-dire $(x-1)(2x^2+24xy-49x-49)=0$.

• Si $x-1=0$, alors par la première équation du système on a : $3y^2=48$, d'où $y=\pm 4$.
• Si $2x^2+24xy-49x+49=0$, alors par la première équation du système on a : $2x^2+24xy-49x=x^3+3x{y}^2$ d'où $2x+24y-49=x^2+3y^2$, par suite : $(x-1{)}^2+3(y-4{)}^2=0$, ce qui donne $x=1,y=4$.

En conclusion, le système d'équations admet comme solutions $(x,y)=(1,4)$ et $(x,y)=(1,-4)$.

Exemple (Tchéquie-Slovaquie-Pologne)

Soit $n$ un entier strictement positif. Déterminer tous les réels positifs $x_1,x_2,\dots ,x_n$ tels que : $$\begin{cases} x_1 + \frac{x_2^2}{2} + \frac{x_3^3}{3} + \cdots + \frac{x_n^n}{n} = n, \\ x_1 + 2x_2 + 3x_3 + \cdots + nx_n = \frac{n(n + 1)}{2}. \end{cases}$$

En soustrayant la seconde équation de la première, et en faisant passer tous les termes de l'équation obtenue à gauche on obtient : $0=x_1+\frac{x_2^2}{2}+\frac{x_3^3}{3}+\cdots +\frac{x_n^n}{n}-n-\left[x_1+2x_2+3x_3+\cdots +n{x}_n-\frac{n(n+1)}{2}\right]$ $=\left(\frac{x_2^2}{2}-2x_2+2-1\right)+\left(\frac{x_3^3}{3}-3x_3+3-1\right)+\cdots +(x_n^n-n{x}_n+n-1)$.

Pour tout entier $k\ge 2$, et tout réel $x\ge 0$, on a d'après l'inégalité entre la moyenne arithmétique et géométrique : $x^k+k-1=x^k+\underset{k-1}{\underbrace{1+1+\cdots +1}}\ge k\cdot \sqrt[k]{x^k}=kx$, avec égalité si, et seulement si, $x=1$, donc $x_2=x_3=\cdots =x_n=1$. Alors, la première équation du système donne $x_1=1$. En conclusion, $x_1=x_2=\cdots =x_n=1$.