Nombres binomiaux et multinomiaux — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

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Chapitre extrait du Tome 3 — Combinatoire I du livre « Objectif Olympiades de Mathématiques » de Mohammed Aassila. Tous les exercices proposés sont corrigés en détail.

🔑 Formules clés à retenir

Pascal : $(k n) = (k - 1 n - 1) + (k n - 1)$ .
Symétrie : $(k n) = (n - k n)$ .
Vandermonde : $k = 0 \sum r (k m) (r - k n) = (r m + n)$ .
Sommes : $k \sum (k n) = 2^{n}$ ; $k \sum (- 1)^{k} (k n) = 0$ ; $k \sum k (k n) = n 2^{n - 1}$ .
Multinomial : $(x_{1} + \dots + x_{r})^{n} = \sum (n _{1} , \dots , n _{r} n) x_{1}^{n_{1}} \dots x_{r}^{n_{r}}$ .

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

Interprétation combinatoire : relier l'identité à un comptage donne une preuve élégante.
Dériver / intégrer $(1 + x)^{n}$ : permet d'obtenir $\sum k (k n) x^{k - 1}$ et autres variantes.
Snake-oil method : transformer une somme avec un coefficient binomial en somme géométrique.
Argument par parité : utiliser la symétrie pour annuler des termes opposés.

Nombres binomiaux et multinomiaux

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