Principe d'inclusion-exclusion — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

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Chapitre extrait du Tome 3 — Combinatoire I du livre « Objectif Olympiades de Mathématiques » de Mohammed Aassila. Tous les exercices proposés sont corrigés en détail.

🔑 Formules clés à retenir

Formule : $∣ A_{1} \cup \dots \cup A_{n} ∣ = \sum ∣ A_{i} ∣ - i < j \sum ∣ A_{i} \cap A_{j} ∣ + \dots + (- 1)^{n + 1} ∣ A_{1} \cap \dots \cap A_{n} ∣$ .
Indicatrice : $1_{A_{1} \cup \dots \cup A_{n}} = 1 - \prod (1 - 1_{A_{i}})$ — base de la preuve.
Dérangements : $D_{n} = n! k = 0 \sum n \frac{( - 1 ) ^{k}}{k !} \approx \frac{n !}{e}$ .
Surjections de $[n]$ dans $[k]$ : $i = 0 \sum k (- 1)^{i} (i k) (k - i)^{n}$ .

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

Définir les bons ensembles $A_{i}$ pour traduire la contrainte "au moins un élément vérifie $P_{i}$ ".
Calcul des $∣ A_{i_{1}} \cap \dots \cap A_{i_{k}} ∣$ souvent identiques (par symétrie) — facilite la somme.
Application aux problèmes de comptage "sans" : compte le total moins les configurations interdites.
Vérification : tester sur $n = 1, 2$ avant de généraliser.

Principe d'inclusion-exclusion

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