Chapitre extrait du Tome 5 — Arithmétique du livre « Objectif Olympiades de Mathématiques » de Mohammed Aassila. Réservé aux élèves se préparant aux concours d'olympiades de niveau lycée.

4.1 Quelques méthodes basiques

Méthode

Pour résoudre une équation diophantienne (quand cela est possible !), on peut essayer de ramener l'équation proposée par équivalence logique ou par implication, à une équation plus simple.

Exemple

Résoudre l'équation suivante dans ${\mathbb{Z}}^2$ : $xy=2x+3y$.

On a : $xy=2x+3y\iff (x-3)(y-2)=6$. L'ensemble des solutions est donnée par : $$\{(-3,1),(0,0),(1,-1),(2,-4),(4,8),(5,5),(6,4),(9,3)\}$$

Exemple

Résoudre l'équation suivante dans ${\mathbb{Z}}^2$ : $x^2-y^2-x+3y=30$.

On a : $$x^2-y^2-x+3y=30\iff {\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2-{\left(y-\frac{3}{2}\right)}^2=28\iff (x+y-2)(x-y+1)=28$$

L'ensemble des solutions est donné par : $$\{(-14,-12),(-5,0),(-5,3),(-14,15),(15,-12),(6,0),(6,3),(15,15)\}$$

Exemple

Résoudre l'équation suivante dans ${\mathbb{Z}}^{\ast }\times {\mathbb{Z}}^{\ast }$ : $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{5}$$

On a : $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{5}\iff xy=5(x+y)\iff (x-5)(y-5)=25$$

L'ensemble des solutions est donné par : $\{(-20,4),(4,-20),(6,30),(10,10),(30,6)\}$

Exemple

Résoudre l'équation suivante dans ${\mathbb{Z}}^2$ : $x^2-3xy+2y^2+x-3y-6=0$.

On a : $$x^2-3xy+2y^2+x-3y-6=0\iff (x-y+2)(x-2y-1)=4$$

L'ensemble des solutions est donné par : $\{(-12,-6),(-7,-3),(-3,0),(-7,-6),(-3,-3),(2,0)\}$

Exemple

Résoudre l'équation suivante dans ${\mathbb{Z}}^2$ : $2x^3+xy-7=0$.

On a : $$2x^3+xy-7=0\iff x(2x^2+y)=7$$

L'ensemble des solutions est donné par $\{(-7,-99),(-1,-9),(1,5),(7,-97)\}$

Exemple

Résoudre l'équation suivante dans ${\mathbb{Z}}^2$ : $x^2=9y^2-39y+40$.

On a : $$x^2=9y^2-39y+40\iff (2x-6y+13)(2x+6y-13)=-9$$

L'ensemble des solutions est donné par : $\{(-2,3),(2,3)\}$

Méthode

Pour résoudre une équation diophantienne (quand cela est possible !), on peut essayer de faire intervenir des limitations (par inégalités) sur les inconnues.

Exemple

Résoudre l'équation suivante dans ${\mathbb{N}}^2$ : $x^3+xy+y^3=209$.

Remarquons d'abord les rôles symétriques de $x$ et $y$, ce qui permet de se ramener à $x\le y$. Si $x^3+xy+y^3=209$, alors $y^3\le 209$, donc $y\le 5$. D'autre part, $209\le y^3+y^2+y^3\le 3y^3$, donc $y\ge 5$. En conclusion, l'ensemble des solutions est donné par $\{(4,5),(5,4)\}$

Exemple

Résoudre l'équation suivante dans ${\mathbb{Z}}^2$ : $x(x+1)(x+7)(x+8)=y^2$.

En notant $t=x+4$ l'équation se ramène à $(t^2-9)(t^2-16)=y^2$, et on a alors $t^2\le 9$ ou $t^2\ge 16$. On teste alors les valeurs $t\in \{-3,3\}$. Si $t^2\ge 16$, alors $(t^2-16{)}^2\le y^2\le (t^2-9{)}^2$, et on résout chacune des équations $(t^2-k{)}^2=(t^2-9)(t^2-16)$ pour $k\in \{9,16\}$. L'ensemble des solutions est donné par : $$\{(-9,-12),(-9,12),(-8,0),(-7,0),(-4,-12),(-4,12),(-1,0),(0,0),(1,-12),(1,12)\}$$

Exemple

Résoudre les équations suivantes dans $({\mathbb{N}}^{\ast }{)}^3$ : $$\begin{cases} x^3 - y^3 - z^3 = 3xyz \\ x^2 = 2(y + z) \end{cases}$$

Soit $(x,y,z)$ une solution, alors on a : $x^3=y^3+z^3+3xyz\ge y^3$, donc $x\ge y$, et aussi $x\ge z$. Puis $x^2=2(y+z)\le 4x$ et $x$ est pair, donc $x\in \{0,2,4\}$. L'ensemble des solutions est donné par $$\{(0,0,0),(2,0,2),(2,1,1),(2,2,0)\}$$

Méthode

Pour résoudre une équation diophantienne on peut montrer qu'il n'y a aucune solution en raisonnant par l'absurde et en utilisant des congruences bien choisies.

Exemple

Montrer que l'équation suivante n'a pas de solutions dans ${\mathbb{Z}}^2$ : $x^2+5y^2=3$.

Si $(x,y)$ est solution, alors $5y^2\le 3$, d'où $y^2<1$, $y=0$, puis $x^2=3$, une contradiction.

Exemple

Montrer que l'équation suivante n'a pas de solutions dans ${\mathbb{Z}}^2$ : $x^2-5y^2=3$.

On travaille modulo 5. On a pour tout $x\in \mathbb{Z}$ : $x^2\equiv -1,0,1(\mathrm{mod}5)$. Mais, si $x^2-5y^2=3$, alors $x^2\equiv 3(\mathrm{mod}5)$, contradiction.

Exemple

Montrer que l'équation suivante n'a pas de solutions dans ${\mathbb{Z}}^2$ : $15x^2-7y^2=9$.

Soit $(x,y)$ une solution, alors $3|7y^2$, donc $3|y$ (car 3 est premier, ou bien en séparant en cas : $y\equiv -1,0,1(\mathrm{mod}3)$). Il existe donc $Y\in \mathbb{Z}$ tel que $y=3Y$ et $5x^2-21Y^2=3$. De même, $3|5x^2$, $3|x$. Il existe donc $X\in \mathbb{Z}$ tel que $x=3X$, et $15X^2-7Y^2=1$. En passant modulo 3, on déduit que $Y^2 \equiv -1 \pmod{3}$.Maisona$Y^2 \equiv 0,1 \pmod{3}$pourtout$Y \in \mathbb{Z}$, d'où une contradiction.

Exemple

Montrer que l'équation suivante n'a pas de solutions dans ${\mathbb{Z}}^2$ : $x^3-3y^3+6y^2-16x+8=0$.

Si $(x,y)$ est solution, en passant modulo 3, on déduit que : $x^3-x-1\equiv 0(\mathrm{mod}3)$. Mais d'autre part, $x^3-x-1\equiv -1(\mathrm{mod}3)$ pour tout $x\in \mathbb{Z}$ comme on le voit en étudiant les trois cas $x \equiv -1,0,1 \pmod{3}$. En conclusion, l'équation n'a pas de solutions entières.

Exemple

Montrer que l'équation suivante n'a pas de solutions dans $({\mathbb{N}}^{\ast }{)}^2$ : $x^3+113=y^3$.

Supposons qu'il existe une solution $(x,y)$.

1. $x^3+113\ge 12^3=1728\Rightarrow x^3\ge 397\Rightarrow x\ge 8$.
2. $y^3=x^3+113>x^3\Rightarrow y>x\Rightarrow y\ge x+1$.

Modulo 2 : $x^3\equiv x$, $y^3\equiv y$, $113\equiv 1$, donc $y\equiv x+1(\mathrm{mod}2)$. En particulier, $y\ne x+2$. Modulo 3 : $x^3\equiv x$, $y^3\equiv y$, $113\equiv -1$, donc $y\equiv x-1(\mathrm{mod}3)$. En particulier, $y\ne x+1$. On a donc $y\ge x+3$, puis $113=y^3-x^3\ge (x+3{)}^3-x^3=9x^2+27x+27$. D'où, $9x^2+27x-1304\le 0$, et donc $x\le 10$. En testant les valeurs $x\in \{8,9,10\}$ on conclut que l'équation proposée n'a pas de solutions entières.

4.2 Utilisation de la factorisation

Les équations indéterminées sont des équations dans lesquelles le nombre d'inconnues est supérieur à celui des équations, et des restrictions sont imposées sur les inconnues (par exemple, des nombres entiers, des nombres entiers strictement positifs, des nombres rationnels strictement positifs, etc.) L'étude des équations indéterminées constitue un sujet important en théorie des nombres. Ce type d'équations est aussi très présent dans les compétitions mathématiques.

Trois principales méthodes sont souvent utilisées pour étudier les équations indéterminées : la factorisation, la congruence, et la limitation (par inégalités) des inconnues. La factorisation est la méthode la plus importante. L'idée principale de la méthode de factorisation est que nous pouvons factoriser les équations de départ en d'autres équations qui peuvent être résolues plus facilement. La factorisation comprend deux aspects : d'une part, une factorisation des expressions algébriques. D'autre part, des décompositions appropriées en utilisant certaines propriétés des nombres entiers (théorème de décomposition primaire, propriétés des entiers premiers entre eux). Bien sûr, il n'y a pas de procédure unique à suivre pour la méthode de factorisation. Parfois, la factorisation est très difficile ou il y a trop de méthodes de factorisation à choisir. Les exemples dans ce paragraphe montrent tous ces cas. Nous combinons souvent la méthode de factorisation avec d'autres méthodes, veuillez vous référer aux exemples de ce paragraphe et des chapitres suivants.

Exemple

Soit $x$ un entier strictement positif tel que $x+100$ est un carré parfait, et $x+168$ est un autre carré parfait. Déterminer toutes les valeurs possibles de $x$.

On a par hypothèses : $$\begin{cases} x + 100 = y^2 \\ x + 168 = z^2 \end{cases}$$

En éliminant $x$ de ces deux équations on obtient : $z^2-y^2=68$. La factorisation du membre de droite donne : $$(z-y)(z+y)=2^2\times 17(1)$$

Puisque $z-y$ et $z+y$ sont tous les deux des entiers strictement positifs, et $z-y<z+y$, alors par (1) et le théorème de décomposition primaire on déduit que : $$\{\begin{array}{l}z-y=1\\ z+y=2^2\times 17\end{array}\text{ou}\{\begin{array}{l}z-y=2\\ z+y=2\times 17\end{array}\text{ou}\{\begin{array}{l}z-y=2^2\\ z+y=17\end{array}$$

En résolvant ces systèmes linéaires à deux inconnues (en fait, comme $z-y$ et $z+y$ sont de même parité, on a juste besoin de résoudre le système du milieu), on obtient $y=16$, $z=18$. Par conséquent, $x=156$.

Exemple

Déterminer toutes les solutions entières de l'équation : $$x^4+y^4+z^4=2x^2{y}^2+2y^2{z}^2+2z^2{x}^2+24$$

L'observation cruciale est l'écriture de l'équation en question sous la forme factorisée : $$(x+y+z)(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)=-2^3\times 3(1)$$

Les quatre facteurs du membre de gauche sont tous des entiers, on peut alors faire appel au théorème de la décomposition primaire. Puisque le nombre premier 2 divise le membre de droite de (1), alors il divise aussi au moins l'un des quatre facteurs du membre de gauche. D'autre part, la somme de deux quelconques parmi les quatre facteurs du membre de gauche de (1) est un entier pair, par suite ils ont la même parité, c'est-à-dire qu'ils sont tous pairs dans notre cas. Par suit, $(x+y+z)(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)$ est divisible par $2^4$, mais le membre de droite $2^3\times 3$ ne l'est pas. Ainsi, l'équation n'a pas de solutions entières.

Remarque : on peut résoudre cette question aussi en utilisant la congruence. Il suffit de considérer l'équation (1) modulo 2, puis modulo $2^4$ pour conclure qu'elle n'admet pas de solutions entières.

Exemple

Montrer que le produit de deux entiers strictement positifs et consécutifs n'est jamais un carré parfait, ni un cube parfait.

Supposons, par l'absurde, qu'il existe deux entiers strictement positifs $x$ et $y$ tels que : $$x(x+1)=y^2$$

En multipliant les deux membres par 4, et en réarrangeant les termes on obtient : $$(2x+1{)}^2=4y^2+1\text{c’est-aˋ-dire}(2x+1+2y)(2x+1-2y)=1$$

Puisque $2x+1+2y$ et $2x+1-2y$ sont tous les deux des entiers strictement positifs, on déduit que : $$\begin{cases} 2x + 1 + 2y = 1 \\ 2x + 1 - 2y = 1 \end{cases}$$ Ce qui donne $x=y=0$, une contradiction.

Supposons, maintenant, qu'il existe deux entiers strictement positifs $x$ et $y$ tels que : $$x(x+1)=y^3$$

La factorisation ci-dessus ne marche pas bien dans ce cas, nous allons utiliser une autre. Puisque $x$ et $x+1$ sont premiers entre eux, et que leur produit est un cube parfait, alors $x$ et $x+1$ sont tous les deux des cubes parfaits, d'où : $x=u^3$, $x+1=v^3$, $y=uv$, avec $u,v$ des entiers strictement positifs. Ainsi, $v^3-u^3=1$, d'où : $$(v-u)\left(v^2+uv+u^2\right)=1$$ ce qui est impossible. Il est facile de voir, par un argument similaire, que le produit de n'importe quels deux entiers strictement positifs et consécutifs n'est jamais une puissance $k$-ème d'un entier (pour $k\ge 2$).

Exemple

Montrer que l'équation $y+y^2=x+x^2+x^3$ n'admet pas de solutions entières avec $x\ne 0$.

Supposons, par l'absurde, que l'équation admet des solutions entières avec $x\ne 0$. L'équation se factorise sous la forme : $$(y-x)(y+x+1)=x^3(1)$$

On montre, tout d'abord, que $\gcd (y-x,y+x+1)=1$. Si ce n'était pas le cas, alors il existerait un nombre premier $p$ qui serait un diviseur commun de $y-x$ et $y+x+1$. D'après (1), $p|x^3$, donc $p|x$. En combinant avec $p|(y-x)$ on arrive à $p|y$. Or $p|(x+y+1)$, donc $p|1$, impossible. Ainsi les deux termes dans le membre de gauche de (1) sont premiers entre eux. Or comme le membre de droite de (1) est un cube parfait, alors il existe des entiers $a$ et $b$ tels que : $$y-x=a^3,y+x+1=b^3,x=ab$$

En éliminant $x$ et $y$ on conclut que : $$b^3-a^3=2ab+1(2)$$

On montre, à présent, que l'équation (2) n'admet pas de solutions entières ce qui donnerait une contradiction. On factorise (2) comme suit : $$(b-a)\left(b^2+ab+a^2\right)=2ab+1(3)$$

Notons que $x=ab$ et $x\ne 0$, alors $ab\ne 0$.

• Si $ab>0$, alors par (3) on obtient $b-a>0$. Puisque $a$ et $b$ sont des entiers, alors $b-a\ge 1$, d'où le membre de gauche de (3) est $\ge b^2+ab+a^2>3ab>$ membre de droite.
• Si $ab<0$, alors $|b-a|\ge 2$, d'où $|(b-a)(b^2+ab+a^2)|\ge 2(a^2+b^2-|ab|)>2|ab|$, mais la valeur absolue du membre de droite de (3) est $<2|ab|$. Ainsi, la relation (3) est fausse, ce qui veut dire qu'il n'existe pas de solutions entières de $y+y^2=x+x^2+x^3$ avec $x\ne 0$.

Exemple

Soit $k\ge 2$ un entier donné. Montrer que :

1. le produit de 3 entiers consécutifs n'est jamais égal à la puissance $k$-ème d'un entier ;
2. le produit de 4 entiers consécutifs n'est jamais égal à la puissance $k$-ème d'un entier.

➀ Supposons, par l'absurde, qu'il existe des entiers $x\ge 2$ et $y$ tels que : $$(x-1)x(x+1)=y^k\text{c’est-aˋ-dire}\left(x^2-1\right)x=y^k(1)$$

Puisque $x$ et $x^2-1$ sont premiers entre eux, alors d'après (1) il existe deux entiers strictement positifs $a$ et $b$ tels que : $$x=a^k,x^2-1=b^k,ab=y$$

Par suite, $$1=a^{2k}-b^k={\left(a^2\right)}^k-b^k=\left(a^2-b\right)\left(a^{2k-2}+a^{2k-4}b+\cdots +a^2{b}^{k-2}+b^{k-1}\right)$$

Puisque $x\ge 2$ alors $a\ge 2$. Comme $k\ge 2$ alors le terme $a^{2k-2}+a^{2k-4}b+\cdots +a^2{b}^{k-2}+b^{k-1}$ est plus grand que 1, contradiction.

➁ Supposons, par l'absurde, qu'il existe des entiers strictement positifs $x$ et $y$ tels que : $$(x-1)x(x+1)(x+2)=y^k(1)$$

Les quatre termes du membre de gauche de l'équation ci-dessus ne sont pas toujours deux à deux premiers entre eux. Pour surmonter cette difficulté nous distinguons deux cas.

Cas 1 : $x$ est impair. Dans ce cas $\gcd (x,x+2)=1$. De plus $\gcd (x,x-1)=\gcd (x,x+1)=1$ car il s'agit à chaque fois de deux entiers consécutifs. Par conséquent, $\gcd(x,(x-1)(x+1)(x+2)) = 1$,etalors{d}^{\prime }apr\grave{e}s(1)ilexistedesentiersstrictementpositifs$a$et$b$ tels que : $$x=a^k,(x-1)(x+1)(x+2)=b^k$$

On se propose de montrer que si $x\ge 2$ et $k\ge 3$, alors $(x-1)(x+1)(x+2)=x^3+2x^2-x-2$ est compris entre les puissances $k$-ème de deux entiers consécutifs, donc ne peut pas être égal à une puissance $k$-ème. En effet, d'après le théorème binomial : $${\left(a^3\right)}^k=x^3<x^3+2x^2-x-2<x^3+k{x}^2+1=a^{3k}+k{a}^{2k}+1<a^{3k}+k{a}^{3(k-1)}+1<{\left(a^3+1\right)}^k$$

Cas 2 : $x$ est pair. De même que dans le premier cas, on sait que $x+1$ et $(x-1)x(x+2)$ sont premiers entre eux, donc il existe des entiers strictement positifs $a$ et $b$ tels que : $$x+1=a^k,(x-1)x(x+2)=b^k$$

On se propose de montrer que si $k\ge 3$, alors $(x-1)x(x+2)$ est compris entre les puissances $k$-ème de deux entiers consécutifs. D'une part, il est facile de voir que $(x - 1)x(x + 2) < (x - 1)(x + 1)^2 < (x + 1)^3 = \left(a^3\right)^k$. D'autre part, si $k = 3$ alors $(x - 1)x(x + 2) > x^3$, à l'exception de $x=2$. Pour $x=2$ le résultat est clair. Donc pour $k=3$ le résultat est vrai. Pour $k\ge 4$ on a : $$(x - 1)x(x + 2) = \left(a^k - 2\right)\left(a^k - 1\right)\left(a^k + 1\right) = a^{3k} - 2a^{2k} - a^k + 2 > a^{3k} - ka^{2k} = \left(a^3 - 1\right)^k + ka^{3(k-1)} - ka^{2k} > \left(a^3 - 1\right)^k + k\left(a^3 - 1\right)^{k-1} - ka^{2k} > \left(a^3 - 1\right)^k$$

Pour justifier la dernière étape, notons que comme $x$ est pair, alors $a$ est impair et $a\ge 3$. Pour $a=3$ c'est clairement vrai. Pour $k\ge 5$, comme $k\ge 4$ on a : $${\left(a^3-1\right)}^{k-1}=(a-1{)}^{k-1}{\left(a^2+a+1\right)}^{k-1}>(a-1{)}^3{a}^{2(k-1)}>a^{2k}$$

En conclusion, d'après les cas 1 et 2, lorsque $k\ge 3$, le produit de quatre entiers strictement positifs et consécutifs n'est jamais égal à la puissance $k$-ème d'un entier. Pour $k=2$ le résultat est assez facile, nous laissons le soin au lecteur pour le montrer.